Rozmaitość różniczkowa: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie

[wersja przejrzana]

← poprzednia edycja następna edycja →

Usunięta treść Dodana treść

WizualnieWikikod

Jednokolumnowy

Wersja z 15:39, 31 maj 2018

Rozmaitość różniczkowalna to rozmaitość, którą można przedstawić w postaci sumy otwartych podzbiorów (niekoniecznie rozłącznych) tak, że wszystkim punktom poszczególnych podzbiorów da się przyporządkować współrzędne krzywoliniowe.

Rozmaitość różniczkowa to rozmaitość różniczkowalna, w której zdefiniowano konkretny rodzaj współrzędnych krzywoliniowych. Przy tym, jeżeli funkcje definiujące współrzędne są klasy conajmniej $C^{1}$ , tj. posiadające ciągłe pochodne w każdym punkcie, to w rozmaitości można wykonywać operacje różniczkowe. Dzięki temu możliwe jest wprowadzenie kanonicznych lokalnych baz wektorów (tj. baz wektorów stycznych do linii współrzędnych) i obliczanie gradientu, dywergencji, rotacji na polach tensorowych - skalarnych, wektorowych, itd.).

Funkcje definiujące współrzędne uogólnione na poszczególnych częściach rozmaitości dokonują jej odwzorowania w przestrzeń rzeczywistą o wymiarze równym wymiarowi rozmaitości. Każde z tych odwzorowań wraz z podzbiorem, na którym jest określone, nazywa się mapą (w analogii do map powierzchni Ziemi). Zbiór map nazywa się atlasem.

Dopuszczenie istnienia wielu map dla danej rozmaitości wynika stąd, że wielu rozmaitości nie da się opisać za pomocą jednej mapy. Np. dla sfery nie istnieje globalny układ współrzędnych, ale można ją odwzorować za pomocą dwóch częściowo pokrywających się map, na których wprowadza się współrzędne sferyczne (linie współrzędnych są wtedy funkcjami klasy $C^{\infty }$ ).

Wprowadzenie struktury rozmaitości różniczkowej ma duże znaczenie np. w fizyce: w szczególnej i ogólnej teorii względności czas i przestrzeń modeluje się za pomocą 4-wymiarowej czasoprzestrzeni, która jest rozmaitością różniczkową (przy czym dodatkowo określa się geometrię czasoprzestrzeni definiując tzw. fundamentalny tensor metryczny).

Definicja rozmaitości różniczkowej

Przestrzeń topologiczną $\mathbb {X}$ nazywamy rozmaitością różniczkową $n$ -wymiarową, jeśli

dla każdego punktu $x\in \mathbb {X}$ istnieje zawierające go otwarte i spójne otoczenie $U\subset \mathbb {X}$
dla każdego otoczenia $U\$ został zdefiniowany homeomorfizm $\phi \colon U\to \phi (U)$ na otwarty zbiór $\phi (U)\$ przestrzeni wektorowej n-wymiarowej $\mathbb {R} ^{n}$ nad ciałem $\mathbb {R}$ liczb rzeczywistych (tj. każdemu punktowi tego otoczenia przyporzadkowany został w sposób wzajemnie jednoznaczny jeden punkt przestrzeni n-wymiarowej $\mathbb {R} ^{n}$ ).

Mapa, atlas, klasa rozmaitości, atlas zupełny

Definicje:

(a) Homeomorfizm $\phi \colon U\to \phi (U)$ nazywamy mapą rozmaitości $\mathbb {X}$ .

(b) Rodzina $\Phi =\{\phi _{l}\}_{l\in I}$ map nazywa się atlasem rozmaitości $\mathbb {X}$ , gdy dziedziny $U_{l}\$ homeomorfizmów $\phi _{l}\$ pokrywają rozmaitość $\mathbb {X}$ , tj.

\mathbb {X} =\bigcup _{l\in I}U_{l}.

(1)

(c) Jeżeli homeomorfizmy są klasy $C^{k}$ , to rozmaitość nazywa się rozmaitością różniczkową klasy $C^{k}$ .

(d) Atlasem zupełnym (maksymalnym) klasy $C^{k}$ lub $C^{k}$ - strukturą na rozmaitości $\mathbb {X}$ nazywa się największy spośród atlasów klasy $C^{k}$ na $\mathbb {X}$ , tzn. zawierający w sensie mnogościowym wszystkie atlasy klasy $C^{k}$ .

Rozmaitości różniczkowe klasy $C^{0}$ , $C^{n}$ oraz $C^{\omega }$

W definicji rozmaitości można zażądać odpowiednio wysokiej gładkości poprzez żądanie, by funkcje tworzące mapy były odpowiednio wysokiej klasy. Wprowadza się przy tym definicje:

Rozmaitością różniczkową klasy $C^{0}$ nazywa się rozmaitość topologiczną, która nie posiada map klasy $C^{1}$ .
Rozmaitością różniczkową klasy $C^{n}$ nazywa się rozmaitość, której mapa jest funkcją klasy $C^{n}$ , gdzie $n\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$ .
Rozmaitością klasy $C^{\omega }$ nazywa się rozmaitość analityczną.

Przypisy

Zobacz też

Pojęcia ogólne

Operacje różniczkowe

Inne

Bibliografia

T. Trajdos: Matematyka część III. Warszawa: PWN, 1993. ISBN 83-204-1547-0.

@@ Linia 18: / Linia 18: @@
 * dla każdego punktu <math>x\in \mathbb{X}</math> istnieje zawierające go otwarte i spójne otoczenie <math>U \subset \mathbb{X}</math>
-* istnieje [[homeomorfizm]] <math>\phi \colon U \to \phi(U)</math> tego otoczenia <math>U\ </math>na otwarty zbiór <math>\phi(U)\ </math> przestrzeni wektorowej n-wymiarowej <math>\mathbb{R}^{n}</math> nad ciałem <math>\mathbb{R}</math> liczb rzeczywistych.
+* dla każdego  otoczenia <math>U\ </math>został zdefiniowany [[homeomorfizm]] <math>\phi \colon U \to \phi(U)</math> na otwarty zbiór <math>\phi(U)\ </math> przestrzeni wektorowej n-wymiarowej <math>\mathbb{R}^{n}</math> nad ciałem <math>\mathbb{R}</math> liczb rzeczywistych (tj. każdemu punktowi tego otoczenia przyporzadkowany został w sposób wzajemnie jednoznaczny jeden punkt przestrzeni  n-wymiarowej <math>\mathbb{R}^{n}</math>).
 == Mapa, atlas, klasa rozmaitości, atlas zupełny ==
@@ Linia 25: / Linia 25: @@
 ('''a''') Homeomorfizm <math>\phi \colon U \to \phi(U)</math> nazywamy '''mapą''' rozmaitości <math>\mathbb{X} </math>.
-('''b''') Rodzina <math>\Phi=\{\phi_l\}_{l \in I}</math> map nazywa się '''atlasem''' rozmaitości <math>\mathbb{X} </math>, gdy dziedziny <math>U_l\ </math> homeomorfizmów <math>\phi_l\ </math> pokrywają rozmaitość <math>\mathbb{X} </math>, tj.{{wzór|<math>\mathbb{X}=\bigcup_{l \in I}U_l.</math>|1}}('''c''') Jeżeli homomorfizmy są klasy <math>C^k</math>, to rozmaitość nazywa się '''rozmaitością różniczkową klasy''' <math>C^k</math>.
+('''b''') Rodzina <math>\Phi=\{\phi_l\}_{l \in I}</math> map nazywa się '''atlasem''' rozmaitości <math>\mathbb{X} </math>, gdy dziedziny <math>U_l\ </math> homeomorfizmów <math>\phi_l\ </math> pokrywają rozmaitość <math>\mathbb{X} </math>, tj.{{wzór|<math>\mathbb{X}=\bigcup_{l \in I}U_l.</math>|1}}('''c''') Jeżeli homeomorfizmy są klasy <math>C^k</math>, to rozmaitość nazywa się '''rozmaitością różniczkową klasy''' <math>C^k</math>.
 ('''d''') '''Atlasem zupełnym (maksymalnym)''' klasy <math>C^k</math> lub <math>C^k</math>- strukturą na rozmaitości <math>\mathbb{X} </math> nazywa się największy spośród atlasów klasy <math>C^k</math>na <math>\mathbb{X} </math>, tzn. zawierający w sensie mnogościowym wszystkie atlasy klasy <math>C^k</math>.