Liczba przeciwna: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja przejrzana] |
Nie podano opisu zmian Znaczniki: Z urządzenia mobilnego Z wersji mobilnej (przeglądarkowej) |
Anulowanie wersji 54772197 autora 87.205.76.23 (dyskusja), WP:SK Znacznik: Anulowanie edycji |
||
| Linia 1: | Linia 1: | ||
'''Liczba przeciwna''' do danej liczby <math>a,\;</math> to taka liczba <math>-a,\;</math> że zachodzi: |
'''Liczba przeciwna''' do danej liczby <math>a,\;</math> to taka liczba <math>-a,\;</math> że zachodzi: |
||
:<math>a+(-a)=0\;</math> |
: <math>a+(-a)=0\;</math> |
||
gdzie <math>0\;</math> jest [[element neutralny|elementem zerowym]] działania [[dodawanie|dodawania]]. |
gdzie <math>0\;</math> jest [[element neutralny|elementem zerowym]] działania [[dodawanie|dodawania]]. |
||
| Linia 7: | Linia 7: | ||
W szczególności: |
W szczególności: |
||
* liczbą przeciwną do zera jest zero. |
* liczbą przeciwną do zera jest zero. |
||
* liczbą przeciwną do przeciwnej do ''x'' jest liczba ''x''. |
* liczbą przeciwną do przeciwnej do ''x'' jest liczba ''x''. |
||
| Linia 18: | Linia 18: | ||
Jeżeli w [[grupa (matematyka)|grupie]] jest określony [[porządek liniowy]] <math>\leqslant</math> spełniający<ref>[http://planetmath.org/encyclopedia/OrderedGroup.html PlanetMath: ordered group<!-- Tytuł wygenerowany przez bota -->]</ref><ref>{{Cytuj | url=http://books.google.com/books?id=Nmj7LtsOT0sC&pg=PA9&dq=%22ordered+group%22&lr= | tytuł=Introduction to the Theory of Topological Rings and Modules - V. Arnautov, S. Glavatsky, Aleksandr Vasilʹevich Mikhalev - Google Livres<!-- Tytuł wygenerowany przez bota --> | opublikowany=books.google.com | data dostępu=2017-11-24}}</ref> |
Jeżeli w [[grupa (matematyka)|grupie]] jest określony [[porządek liniowy]] <math>\leqslant</math> spełniający<ref>[http://planetmath.org/encyclopedia/OrderedGroup.html PlanetMath: ordered group<!-- Tytuł wygenerowany przez bota -->]</ref><ref>{{Cytuj | url=http://books.google.com/books?id=Nmj7LtsOT0sC&pg=PA9&dq=%22ordered+group%22&lr= | tytuł=Introduction to the Theory of Topological Rings and Modules - V. Arnautov, S. Glavatsky, Aleksandr Vasilʹevich Mikhalev - Google Livres<!-- Tytuł wygenerowany przez bota --> | opublikowany=books.google.com | data dostępu=2017-11-24}}</ref> |
||
:<math>a \leqslant b \implies (a + c \leqslant b + c \and c + a \leqslant c + b)</math> |
: <math>a \leqslant b \implies (a + c \leqslant b + c \and c + a \leqslant c + b)</math> |
||
to |
to |
||
* elementy dla których <math>a \leqslant 0</math>, nazywamy niedodatnimi |
* elementy dla których <math>a \leqslant 0</math>, nazywamy niedodatnimi |
||
Wersja z 19:59, 18 paź 2018
Liczba przeciwna do danej liczby to taka liczba że zachodzi:
gdzie jest elementem zerowym działania dodawania.
Przykład:
- liczbą przeciwną do liczby 3 jest liczba -3
W szczególności:
- liczbą przeciwną do zera jest zero.
- liczbą przeciwną do przeciwnej do x jest liczba x.
W zbiorach liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych dla każdej liczby istnieje liczba przeciwna. Zbiory te wraz z dodawaniem są bowiem w szczególnym przypadkiem tzw. grup – a jeden z aksjomatów grupy wymaga istnienia elementu odwrotnego do każdego elementu zbioru.
W zbiorach liczb naturalnych, oraz w klasach liczb kardynalnych i porządkowych nie jest to już prawda – liczby ujemne nie należą do zbioru liczb naturalnych, a dla nieskończonych liczb kardynalnych i porządkowych liczby przeciwne w ogóle nie są zdefiniowane, o ile nie wprowadzimy ich sztucznie, np. tak jak w liczbach nadrzeczywistych.
Uogólnienie na grupy uporządkowane
Z punktu widzenia algebry jest to pojęcie elementu odwrotnego do danego wyrażone w terminologii addytywnej.
Jeżeli w grupie jest określony porządek liniowy spełniający[1][2]
to
- elementy dla których , nazywamy niedodatnimi
- elementy dla których , nazywamy nieujemnymi
- elementy niedodatnie niezerowe nazywamy ujemnymi
- elementy nieujemne niezerowe nazywamy dodatnimi
Takimi grupami są wspomniane wyżej grupy liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych (ale nie zespolonych).
Wówczas, jak łatwo sprawdzić:
- element przeciwny do dodatniego jest ujemny
- element przeciwny do ujemnego jest dodatni
Warto wspomnieć jeszcze, że np. grupach z dodawaniem modulo n gdzie n jest parzyste istnieją elementy niezerowe, które są przeciwne do samych siebie.
Zobacz też
Przypisy
- ↑ PlanetMath: ordered group
- ↑ Introduction to the Theory of Topological Rings and Modules - V. Arnautov, S. Glavatsky, Aleksandr Vasilʹevich Mikhalev - Google Livres [online], books.google.com [dostęp 2017-11-24].