Rozmaitość różniczkowa: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie

[wersja przejrzana]

← poprzednia edycja następna edycja →

Usunięta treść Dodana treść

WizualnieWikikod

Jednokolumnowy

Wersja z 04:50, 20 lis 2018

Rozmaitość różniczkowalna to rozmaitość, którą można przedstawić w postaci sumy otwartych podzbiorów (niekoniecznie rozłącznych) tak, że wszystkim punktom poszczególnych podzbiorów da się przyporządkować współrzędne krzywoliniowe.

Rozmaitość różniczkowa to rozmaitość różniczkowalna, w której zdefiniowano konkretny rodzaj współrzędnych krzywoliniowych. Przy tym, jeżeli funkcje definiujące współrzędne są klasy co najmniej $C^{1},$ tj. posiadające ciągłe pochodne w każdym punkcie, to w rozmaitości można wykonywać operacje różniczkowe. Dzięki temu możliwe jest wprowadzenie kanonicznych lokalnych baz wektorów (tj. baz wektorów stycznych do linii współrzędnych) i obliczanie gradientu, dywergencji, rotacji na polach tensorowych – skalarnych, wektorowych itd.

Funkcje definiujące współrzędne uogólnione na poszczególnych częściach rozmaitości dokonują jej odwzorowania w przestrzeń rzeczywistą o wymiarze równym wymiarowi rozmaitości. Każde z tych odwzorowań wraz z podzbiorem, na którym jest określone, nazywa się mapą (w analogii do map powierzchni Ziemi). Zbiór map nazywa się atlasem.

Dopuszczenie istnienia wielu map dla danej rozmaitości wynika stąd, że wielu rozmaitości nie da się opisać za pomocą jednej mapy. Np. dla sfery nie istnieje globalny układ współrzędnych, ale można ją odwzorować za pomocą dwóch częściowo pokrywających się map (np. dwóch map nieco większych niż półsfery, zachodzących na siebie), na których wprowadza się współrzędne sferyczne (linie współrzędnych są wtedy funkcjami klasy $C^{\infty }$ ).

Wprowadzenie struktury rozmaitości różniczkowej ma duże znaczenie np. w fizyce: w szczególnej i ogólnej teorii względności czas i przestrzeń modeluje się za pomocą 4-wymiarowej czasoprzestrzeni, która jest rozmaitością różniczkową (przy czym dodatkowo określa się geometrię czasoprzestrzeni definiując tzw. fundamentalny tensor metryczny).

Definicja rozmaitości różniczkowej

Przestrzeń topologiczną $\mathbb {X}$ nazywamy rozmaitością różniczkową $n$ -wymiarową, jeśli

dla każdego punktu $x\in \mathbb {X}$ istnieje zawierające go otwarte i spójne otoczenie $U\subset \mathbb {X} ,$
dla każdego otoczenia $U$ został zdefiniowany homeomorfizm $\phi \colon U\to \phi (U)$ na otwarty zbiór $\phi (U)$ przestrzeni wektorowej $n$ -wymiarowej $\mathbb {R} ^{n}$ nad ciałem $\mathbb {R}$ liczb rzeczywistych (tj. każdemu punktowi tego otoczenia przyporządkowany został w sposób wzajemnie jednoznaczny jeden punkt przestrzeni $n$ -wymiarowej $\mathbb {R} ^{n}$ ).

Mapa, atlas, klasa rozmaitości, atlas zupełny

Definicje:

(a) Homeomorfizm $\phi \colon U\to \phi (U)$ nazywa się mapą na rozmaitości $\mathbb {X} .$

(b) Rodzina $\Phi =\{\phi _{l}\}_{l\in I}$ map nazywa się atlasem rozmaitości $\mathbb {X} ,$ gdy dziedziny $U_{l}$ homeomorfizmów $\phi _{l}$ pokrywają rozmaitość $\mathbb {X} ,$ tj.

\mathbb {X} =\bigcup _{l\in I}U_{l}.

(1)

(c) Jeżeli homeomorfizmy są klasy $C^{k},$ to rozmaitość nazywa się rozmaitością różniczkową klasy $C^{k}.$

(d) Atlasem zupełnym (maksymalnym) klasy $C^{k}$ lub $C^{k}$ – strukturą na rozmaitości $\mathbb {X}$ nazywa się największy spośród atlasów klasy $C^{k}$ na $\mathbb {X} ,$ tzn. zawierający w sensie mnogościowym wszystkie atlasy klasy $C^{k}.$

Rozmaitości różniczkowe klasy $C^{0},$ $C^{n}$ oraz $C^{\omega }$

W definicji rozmaitości można zażądać odpowiednio wysokiej gładkości poprzez żądanie, by funkcje tworzące mapy były odpowiednio wysokiej klasy. Wprowadza się przy tym definicje:

Rozmaitością różniczkową klasy $C^{0}$ nazywa się rozmaitość topologiczną, która nie posiada map klasy $C^{1}.$
Rozmaitością różniczkową klasy $C^{n}$ nazywa się rozmaitość, której mapa jest funkcją klasy $C^{n},$ gdzie $n\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}.$
Rozmaitością klasy $C^{\omega }$ nazywa się rozmaitość analityczną.

Zobacz też

Pojęcia ogólne

Operacje różniczkowe

Inne

Bibliografia

T. Trajdos: Matematyka część III. Warszawa: PWN, 1993. ISBN 83-204-1547-0.

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
 {{Integracja|rozmaitość różniczkowalna}}
-[[Plik:Nondifferentiable_atlas.png|thumb|right|260x260px|('''1''') Przykład wprowadzenia '''rozmaitości różniczkowej klasy <math>C^0</math>''' na sferze: mapy tworzące tę rozmaitość zawierają '''linie współrzędnych,''' które są krzywymi w ogólności '''niegładkimi''' (na mapie środkowej i z prawej strony [[Zwrotnik (geografia)|Zwrotnik Raka]] jest krzywą gładką, ale na mapie z lewej ma ostre zagięcie - ta ostatnia krzywa nie ma pochodnej w punkcie zagięcia). ('''2''') Aby rozmaitość różniczkowa była '''klasy <math>C^1</math>''' (lub wyższej) trzeba wprowadzić na mapach [[współrzędne krzywoliniowe]], których krzywe współrzędnych są krzywymi gładkim.]]
+[[Plik:Nondifferentiable atlas.png|thumb|260x260px|('''1''') Przykład wprowadzenia '''rozmaitości różniczkowej klasy <math>C^0</math>''' na sferze: mapy tworzące tę rozmaitość zawierają '''linie współrzędnych,''' które są krzywymi w ogólności '''niegładkimi''' (na mapie środkowej i z prawej strony [[Zwrotnik (geografia)|Zwrotnik Raka]] jest krzywą gładką, ale na mapie z lewej ma ostre zagięcie – ta ostatnia krzywa nie ma pochodnej w punkcie zagięcia). ('''2''') Aby rozmaitość różniczkowa była '''klasy <math>C^1</math>''' (lub wyższej) trzeba wprowadzić na mapach [[współrzędne krzywoliniowe]], których krzywe współrzędnych są krzywymi gładkim.]]
 '''Rozmaitość różniczkowalna''' to [[rozmaitość]], którą można przedstawić w postaci sumy otwartych podzbiorów (niekoniecznie rozłącznych) tak, że wszystkim punktom poszczególnych podzbiorów ''da się'' przyporządkować [[współrzędne krzywoliniowe]].
-'''Rozmaitość różniczkowa''' to rozmaitość różniczkowalna, w której zdefiniowano konkretny rodzaj współrzędnych krzywoliniowych. Przy tym, jeżeli funkcje definiujące współrzędne są [[Funkcja różniczkowalna#Funkcja klasy|klasy]] conajmniej <math>C^1</math>, tj. posiadające ciągłe pochodne w każdym punkcie, to w rozmaitości można wykonywać operacje różniczkowe. Dzięki temu możliwe jest wprowadzenie kanonicznych [[Współrzędne krzywoliniowe|lokalnych baz]] wektorów (tj. baz wektorów stycznych do linii współrzędnych) i obliczanie [[Gradient (matematyka)|gradientu]], [[Dywergencja|dywergencji]], [[Rotacja|rotacji]] na [[Pole tensorowe|polach tensorowych]] - [[Pole skalarne|skalarnych]], [[Pole wektorowe|wektorowych]], itd.).
+'''Rozmaitość różniczkowa''' to rozmaitość różniczkowalna, w której zdefiniowano konkretny rodzaj współrzędnych krzywoliniowych. Przy tym, jeżeli funkcje definiujące współrzędne są [[Funkcja różniczkowalna#Funkcja klasy|klasy]] co najmniej <math>C^1,</math> tj. posiadające ciągłe pochodne w każdym punkcie, to w rozmaitości można wykonywać operacje różniczkowe. Dzięki temu możliwe jest wprowadzenie kanonicznych [[Współrzędne krzywoliniowe|lokalnych baz]] wektorów (tj. baz wektorów stycznych do linii współrzędnych) i obliczanie [[Gradient (matematyka)|gradientu]], [[Dywergencja|dywergencji]], [[Rotacja|rotacji]] na [[Pole tensorowe|polach tensorowych]] – [[Pole skalarne|skalarnych]], [[Pole wektorowe|wektorowych]] itd.
 Funkcje definiujące współrzędne uogólnione na poszczególnych częściach rozmaitości dokonują jej odwzorowania w przestrzeń rzeczywistą o wymiarze równym wymiarowi rozmaitości. Każde z tych odwzorowań wraz z podzbiorem, na którym jest określone, nazywa się '''mapą''' (w analogii do map powierzchni Ziemi). Zbiór map nazywa się '''atlasem'''.
-Dopuszczenie istnienia wielu map dla danej rozmaitości wynika stąd, że wielu rozmaitości nie da się opisać za pomocą jednej mapy. Np. dla [[Sfera|sfery]] nie istnieje globalny układ współrzędnych, ale można ją odwzorować za pomocą dwóch częściowo pokrywających się map (np. dwóch map nieco większych niż półsfery, zachodzących na siebie), na których wprowadza się [[Układ współrzędnych sferycznych|współrzędne sferyczne]] (linie współrzędnych są wtedy funkcjami klasy <math>C^{\infty}</math>).
+Dopuszczenie istnienia wielu map dla danej rozmaitości wynika stąd, że wielu rozmaitości nie da się opisać za pomocą jednej mapy. Np. dla [[Sfera|sfery]] nie istnieje globalny układ współrzędnych, ale można ją odwzorować za pomocą dwóch częściowo pokrywających się map (np. dwóch map nieco większych niż półsfery, zachodzących na siebie), na których wprowadza się [[Układ współrzędnych sferycznych|współrzędne sferyczne]] (linie współrzędnych są wtedy funkcjami klasy <math>C^\infty</math>).
 Wprowadzenie struktury rozmaitości różniczkowej ma duże znaczenie np. w fizyce: w [[Szczególna teoria względności|szczególnej]] i [[Ogólna teoria względności|ogólnej teorii względności]] czas i przestrzeń modeluje się za pomocą 4-wymiarowej [[Czasoprzestrzeń|czasoprzestrzeni]], która jest rozmaitością różniczkową (przy czym dodatkowo określa się geometrię czasoprzestrzeni definiując tzw. fundamentalny [[tensor metryczny]]).
 == Definicja rozmaitości różniczkowej ==
-Przestrzeń topologiczną <math>\mathbb{X} </math>  nazywamy '''rozmaitością różniczkową <math>n </math>-wymiarową''', jeśli
+Przestrzeń topologiczną <math>\mathbb{X}</math> nazywamy '''rozmaitością różniczkową <math>n</math>-wymiarową''', jeśli
-* dla każdego punktu <math>x\in \mathbb{X}</math> istnieje zawierające go otwarte i spójne otoczenie <math>U \subset \mathbb{X}</math>
+* dla każdego punktu <math>x\in \mathbb{X}</math> istnieje zawierające go otwarte i spójne otoczenie <math>U \subset \mathbb{X},</math>
-* dla każdego  otoczenia <math>U\ </math>został zdefiniowany [[homeomorfizm]] <math>\phi \colon U \to \phi(U)</math> na otwarty zbiór <math>\phi(U)\ </math> przestrzeni wektorowej n-wymiarowej <math>\mathbb{R}^{n}</math> nad ciałem <math>\mathbb{R}</math> liczb rzeczywistych (tj. każdemu punktowi tego otoczenia przyporzadkowany został w sposób wzajemnie jednoznaczny jeden punkt przestrzeni  n-wymiarowej <math>\mathbb{R}^{n}</math>).
+* dla każdego otoczenia <math>U</math> został zdefiniowany [[homeomorfizm]] <math>\phi \colon U \to \phi(U)</math> na otwarty zbiór <math>\phi(U)</math> przestrzeni wektorowej <math>n</math>-wymiarowej <math>\mathbb{R}^n</math> nad ciałem <math>\mathbb{R}</math> liczb rzeczywistych (tj. każdemu punktowi tego otoczenia przyporządkowany został w sposób wzajemnie jednoznaczny jeden punkt przestrzeni <math>n</math>-wymiarowej <math>\mathbb{R}^n</math>).
 == Mapa, atlas, klasa rozmaitości, atlas zupełny ==
 Definicje:
-('''a''') Homeomorfizm <math>\phi \colon U \to \phi(U)</math> nazywa  się  '''mapą'''  na rozmaitości <math>\mathbb{X} </math>.
+('''a''') Homeomorfizm <math>\phi \colon U \to \phi(U)</math> nazywa się '''mapą''' na rozmaitości <math>\mathbb{X}.</math>
-('''b''') Rodzina <math>\Phi=\{\phi_l\}_{l \in I}</math> map nazywa się '''atlasem''' rozmaitości <math>\mathbb{X} </math>, gdy dziedziny <math>U_l\ </math> homeomorfizmów <math>\phi_l\ </math> pokrywają rozmaitość <math>\mathbb{X} </math>, tj.{{wzór|<math>\mathbb{X}=\bigcup_{l \in I}U_l.</math>|1}}
+('''b''') Rodzina <math>\Phi=\{\phi_l\}_{l \in I}</math> map nazywa się '''atlasem''' rozmaitości <math>\mathbb{X},</math> gdy dziedziny <math>U_l</math> homeomorfizmów <math>\phi_l</math> pokrywają rozmaitość <math>\mathbb{X},</math> tj. {{wzór|<math>\mathbb{X}=\bigcup_{l \in I}U_l.</math>|1}}
-('''c''') Jeżeli homeomorfizmy są klasy <math>C^k</math>, to rozmaitość nazywa się '''rozmaitością różniczkową klasy''' <math>C^k</math>.
+('''c''') Jeżeli homeomorfizmy są klasy <math>C^k,</math> to rozmaitość nazywa się '''rozmaitością różniczkową klasy''' <math>C^k.</math>
-('''d''') '''Atlasem zupełnym (maksymalnym)''' klasy <math>C^k</math> lub <math>C^k</math>- strukturą na rozmaitości <math>\mathbb{X} </math> nazywa się największy spośród atlasów klasy <math>C^k</math>na <math>\mathbb{X} </math>, tzn. zawierający w sensie mnogościowym wszystkie atlasy klasy <math>C^k</math>.
+('''d''') '''Atlasem zupełnym (maksymalnym)''' klasy <math>C^k</math> lub <math>C^k</math> – strukturą na rozmaitości <math>\mathbb{X}</math> nazywa się największy spośród atlasów klasy <math>C^k</math> na <math>\mathbb{X},</math> tzn. zawierający w sensie mnogościowym wszystkie atlasy klasy <math>C^k.</math>
-== Rozmaitości różniczkowe klasy <math>C^0</math>, <math>C^n</math> oraz <math>C^\omega</math> ==
+== Rozmaitości różniczkowe klasy <math>C^0,</math> <math>C^n</math> oraz <math>C^\omega</math> ==
 W definicji rozmaitości można zażądać odpowiednio wysokiej gładkości poprzez żądanie, by funkcje tworzące mapy były odpowiednio wysokiej klasy. Wprowadza się przy tym definicje:
-* '''Rozmaitością różniczkową klasy <math>C^0</math>''' nazywa się [[Rozmaitość topologiczna|rozmaitość topologiczną]], która nie posiada map klasy <math>C^1</math>.
+* '''Rozmaitością różniczkową klasy <math>C^0</math>''' nazywa się [[Rozmaitość topologiczna|rozmaitość topologiczną]], która nie posiada map klasy <math>C^1.</math>
-* '''Rozmaitością różniczkową klasy <math>C^n</math>''' nazywa się rozmaitość, której mapa jest funkcją klasy <math>C^n</math>, gdzie <math>n \in \mathbb N\cup \{\infty\}</math>.
+* '''Rozmaitością różniczkową klasy <math>C^n</math>''' nazywa się rozmaitość, której mapa jest funkcją klasy <math>C^n,</math> gdzie <math>n \in \mathbb N\cup \{\infty\}.</math>
 * '''Rozmaitością klasy <math>C^\omega</math>''' nazywa się rozmaitość analityczną.
-==  Zobacz też ==
+== Zobacz też ==
 '''Pojęcia ogólne'''
 * [[rozmaitość gładka]]
@@ Linia 50: / Linia 50: @@
 == Bibliografia ==
-*T. Trajdos: ''Matematyka część III''. Warszawa: PWN, 1993. {{ISBN|83-204-1547-0}}.
+* T. Trajdos: ''Matematyka część III''. Warszawa: PWN, 1993. {{ISBN|83-204-1547-0}}.
 [[Kategoria:Topologia]]