Równanie różniczkowe: Różnice pomiędzy wersjami

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Paweł Ziemian BOT (dyskusja | edycje)
Boty
1 384 060 edycji
Linia 1: Linia 1:
'''Równanie różniczkowe''' – [[równanie]] wyznaczające zależność między nieznaną [[funkcja|funkcją]] a jej [[Pochodna funkcji|pochodnymi]].
'''Równanie różniczkowe''' – [[równanie]] wyznaczające zależność między nieznaną [[funkcja|funkcją]] a jej [[Pochodna funkcji|pochodnymi]].


[[Rozwiązanie równania różniczkowego]] polega na znalezieniu funkcji <math>y</math>, która spełnia to równanie. Na przykład równanie różniczkowe <math>y'' + y = 0</math> ma ogólne rozwiązanie w postaci <math>y = A \cos{x} + B \sin{x}</math>, gdzie <math>A</math> i <math>B</math> są stałymi wyznaczonymi z [[zagadnienie brzegowe|warunków brzegowych]].
[[Rozwiązanie równania różniczkowego]] polega na znalezieniu funkcji <math>y,</math> która spełnia to równanie. Na przykład równanie różniczkowe <math>y'' + y = 0</math> ma ogólne rozwiązanie w postaci <math>y = A \cos{x} + B \sin{x},</math> gdzie <math>A</math> i <math>B</math> są stałymi wyznaczonymi z [[zagadnienie brzegowe|warunków brzegowych]].


Równania różniczkowe można podzielić na:
Równania różniczkowe można podzielić na:
* [[równanie różniczkowe zwyczajne|równania różniczkowe zwyczajne]] – w których szukamy funkcji jednej zmiennej
* [[równanie różniczkowe zwyczajne|równania różniczkowe zwyczajne]] – w których szukamy funkcji jednej zmiennej,
* [[równanie różniczkowe cząstkowe|równania różniczkowe cząstkowe]] – w których szukamy funkcji wielu zmiennych
* [[równanie różniczkowe cząstkowe|równania różniczkowe cząstkowe]] – w których szukamy funkcji wielu zmiennych.


Istnieją metody rozwiązywania równań różniczkowych pewnych szczególnych typów, jednak wiele równań różniczkowych nie ma rozwiązań, które dałyby się wyrazić w postaci jawnej. W praktyce matematycznej często ważniejszą informacją od samej postaci rozwiązania jest informacja o jego istnieniu (gdyż nie każde równanie różniczkowe musi je mieć). W przypadku równań różniczkowych, o których wiadomo, że mają rozwiązanie, często (szczególnie w zastosowaniach) wystarczające jest znalezienie rozwiązania przybliżonego (np. stosując metodę aproksymacji). Obecnie prowadzi się wiele badań nad kolejnymi schematami rozwiązywania równań różniczkowych, gdyż mają one wiele zastosowań praktycznych. Przy wielu uniwersytetach powstają specjalne katedry równań różniczkowych zajmujące się praktycznie tylko szukaniem rozwiązań kolejnych przełomowych równań.
Istnieją metody rozwiązywania równań różniczkowych pewnych szczególnych typów, jednak wiele równań różniczkowych nie ma rozwiązań, które dałyby się wyrazić w postaci jawnej. W praktyce matematycznej często ważniejszą informacją od samej postaci rozwiązania jest informacja o jego istnieniu (gdyż nie każde równanie różniczkowe musi je mieć). W przypadku równań różniczkowych, o których wiadomo, że mają rozwiązanie, często (szczególnie w zastosowaniach) wystarczające jest znalezienie rozwiązania przybliżonego (np. stosując metodę aproksymacji). Obecnie prowadzi się wiele badań nad kolejnymi schematami rozwiązywania równań różniczkowych, gdyż mają one wiele zastosowań praktycznych. Przy wielu uniwersytetach powstają specjalne katedry równań różniczkowych zajmujące się praktycznie tylko szukaniem rozwiązań kolejnych przełomowych równań.
Linia 11: Linia 11:
== Przykłady równań różniczkowych w różnych dziedzinach ==
== Przykłady równań różniczkowych w różnych dziedzinach ==
<div style="-moz-column-count:2; column-count:2;">
<div style="-moz-column-count:2; column-count:2;">
* równania opisujące [[zasady dynamiki Newtona]]
* [[równania Cauchy’ego-Riemanna]] w [[analiza zespolona|analizie zespolonej]]
⚫
* [[równania Einsteina-Infelda-Hoffmanna]]
* [[równania Hamiltona]] w [[mechanika klasyczna|mechanice klasycznej]]
* [[równania Hamiltona]] w [[mechanika klasyczna|mechanice klasycznej]]
⚫
* [[równania Maxwella]]
⚫
* równania związane z [[Czas połowicznego rozpadu|czasem połowicznego rozpadu]] [[Izotopy|izotopów]] w [[fizyka jądrowa|fizyce jądrowej]]
* równania opisujące [[konwekcja swobodna|konwekcję swobodną]] w [[termodynamika|termodynamice]]
* równania opisujące [[konwekcja swobodna|konwekcję swobodną]] w [[termodynamika|termodynamice]]
* równania opisujące [[zasady dynamiki Newtona]]
⚫
* równania związane z [[Czas połowicznego rozpadu|czasem połowicznego rozpadu]] [[Izotopy|izotopów]] w [[fizyka jądrowa|fizyce jądrowej]]
⚫
* [[równanie Einsteina]] w [[teoria względności|teorii względności]]
* [[równanie falowe]]
* [[równanie falowe]]
⚫
* [[Równania Naviera-Stokesa|równanie Naviera-Stokesa]] w [[mechanika płynów|mechanice płynów]]
⚫
* [[równania Maxwella]]
⚫
* [[równanie Poissona-Boltzmanna]]
* [[równanie przewodnictwa cieplnego]] w termodynamice
* [[równanie przewodnictwa cieplnego]] w termodynamice
* [[Równanie różniczkowe Laplace’a|równanie Laplace’a]] opisujące [[Harmonika (matematyka)|harmoniki]]
* [[Równanie różniczkowe Laplace’a|równanie Laplace’a]] opisujące [[Harmonika (matematyka)|harmoniki]]
* [[Równanie różniczkowe Poissona|równanie Poissona]]
* [[Równanie różniczkowe Poissona|równanie Poissona]]
⚫
* [[równanie Einsteina]] w [[teoria względności|teorii względności]]
⚫
* [[równania Einsteina-Infelda-Hoffmanna]]
* [[równanie Schrödingera]] w [[mechanika kwantowa|mechanice kwantowej]]
* [[równanie Schrödingera]] w [[mechanika kwantowa|mechanice kwantowej]]
⚫
* [[Równania Naviera-Stokesa|równanie Naviera-Stokesa]] w [[mechanika płynów|mechanice płynów]]
* [[równania Cauchy’ego-Riemanna]] w [[analiza zespolona|analizie zespolonej]]
⚫
* [[równanie Poissona-Boltzmanna]]
</div>
</div>


Linia 31: Linia 31:
{{commonscat|Differential equations|Równania różniczkowe}}
{{commonscat|Differential equations|Równania różniczkowe}}
{{wikibooks|Układy równań różniczkowych|Układy równań różniczkowych}}
{{wikibooks|Układy równań różniczkowych|Układy równań różniczkowych}}
⚫
* [[metoda Eulera]]
* [[rachunek różniczkowy i całkowy]]
* [[rachunek różniczkowy i całkowy]]
* [[równanie różniczkowe zupełne]]
* [[równanie różniczkowe zupełne]]
⚫
* [[metoda Eulera]]
* [[zagadnienie Cauchy’ego]] (zagadnienie początkowe)
* [[zagadnienie Cauchy’ego]] (zagadnienie początkowe)


Wersja z 17:09, 13 sty 2019

Równanie różniczkowe – równanie wyznaczające zależność między nieznaną funkcją a jej pochodnymi.

Rozwiązanie równania różniczkowego polega na znalezieniu funkcji która spełnia to równanie. Na przykład równanie różniczkowe ma ogólne rozwiązanie w postaci gdzie i są stałymi wyznaczonymi z warunków brzegowych.

Równania różniczkowe można podzielić na:

Istnieją metody rozwiązywania równań różniczkowych pewnych szczególnych typów, jednak wiele równań różniczkowych nie ma rozwiązań, które dałyby się wyrazić w postaci jawnej. W praktyce matematycznej często ważniejszą informacją od samej postaci rozwiązania jest informacja o jego istnieniu (gdyż nie każde równanie różniczkowe musi je mieć). W przypadku równań różniczkowych, o których wiadomo, że mają rozwiązanie, często (szczególnie w zastosowaniach) wystarczające jest znalezienie rozwiązania przybliżonego (np. stosując metodę aproksymacji). Obecnie prowadzi się wiele badań nad kolejnymi schematami rozwiązywania równań różniczkowych, gdyż mają one wiele zastosowań praktycznych. Przy wielu uniwersytetach powstają specjalne katedry równań różniczkowych zajmujące się praktycznie tylko szukaniem rozwiązań kolejnych przełomowych równań.

Przykłady równań różniczkowych w różnych dziedzinach

Zobacz też

Źródło: „https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Równanie_różniczkowe&oldid=55582582”