Funkcja dzeta Riemanna: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
źródła/przypisy |
→Niektóre wartości: źródła/przypisy |
||
Linia 60: | Linia 60: | ||
Ogólnie, dla <math>p\in\mathbb{N},</math> mamy: |
Ogólnie, dla <math>p\in\mathbb{N},</math> mamy: |
||
: <math>\zeta(2p) = \frac{(-1)^{p+1} \cdot B_{2p} \cdot (2\pi)^{2p}}{2 \cdot (2p)!},</math> |
: <math>\zeta(2p) = \frac{(-1)^{p+1} \cdot B_{2p} \cdot (2\pi)^{2p}}{2 \cdot (2p)!},</math>{{odn|Maligranda|2008|s=62}} |
||
gdzie <math>B_{2p}</math> to [[Liczby Bernoulliego|liczba Bernoulliego]] z indeksem <math>2p.</math> |
gdzie <math>B_{2p}</math> to [[Liczby Bernoulliego|liczba Bernoulliego]] z indeksem <math>2p.</math> |
Wersja z 22:15, 3 kwi 2019
Funkcja ζ (dzeta) Riemanna – funkcja specjalna zdefiniowana jako przedłużenie analityczne poniższej sumy:
Szereg ten jest zbieżny dla takich których część rzeczywista jest większa od 1.
Za pomocą metod analizy matematycznej sumę tę daje się rozszerzyć na wszystkie liczby zespolone, poza Przyjmuje ona wtedy postać:
Aby znaleźć wartość funkcji dzeta dla o części rzeczywistej mniejszej od 1, można posłużyć się również wzorem rekurencyjnym:
gdzie to funkcja Γ (gamma) Eulera.
Z funkcją dzeta związany jest jeden z najważniejszych problemów współczesnej matematyki – hipoteza Riemanna.
Wykres funkcji ζ
Dziedzina liczb rzeczywistych
Dziedzina liczb zespolonych
Wykres funkcji ζ(z) na płaszczyźnie zespolonej uzyskany techniką kolorowania dziedziny.
Ważne wzory związane z funkcją ζ
Związek funkcji dzeta z liczbami pierwszymi (dla ):
gdzie oznacza ciąg kolejnych liczb pierwszych.
Związek z liczbami Bernoulliego:
dla każdej liczby parzystej dodatniej gdzie to -ta liczba Bernoulliego. Ponadto dla liczb całkowitych ujemnych
Zatem funkcja ζ przyjmuje wartość 0 dla każdej ujemnej liczby parzystej.
Związki z funkcjami teorioliczbowymi:
gdzie to funkcja π (pi) określająca liczbę liczb pierwszych nie większych od
gdzie to funkcja τ (tau), określająca liczbę dzielników liczby
Niektóre wartości
Ogólnie, dla mamy:
gdzie to liczba Bernoulliego z indeksem
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Marcin Szweda , Kongruencje na liczbach harmonicznych i ich uogólnienia, [w:] Oblicze 2016, Poznań: Koło Naukowe Matematyków UAM, wrzesień 2016, s. 210, ISBN 978-83-946301-0-2 [dostęp 2019-02-09] (pol.).
- ↑ Titchmarsh 1986 ↓, s. 13.
- ↑ Carl M Bender , Dorje C. Brody , Markus P. Müller , Hamiltonian for the Zeros of the Riemann Zeta Function, „Physical Review Letters”, 118, 2017, s. 130201-1, DOI: 10.1103/PhysRevLett.118.130201 (ang.).
- ↑ Georg Friedrich Bernhard Riemann , Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, „Monatsberichte der Berliner Akademie”, listopad 1859 .
- ↑ Titchmarsh 1986 ↓, s. 1.
- ↑ Titchmarsh 1986 ↓, s. 2.
- ↑ Titchmarsh 1986 ↓, s. 4.
- ↑ a b c Maligranda 2008 ↓, s. 55.
- ↑ Maligranda 2008 ↓, s. 62.
Bibliografia
- E.C. Titchmarsh , The theory of the Riemann zeta-function, second edition, Oxford: Clarendon Press, 1986 (ang.).
- Lech Maligranda , Szeregi w pracach Eulera, „Antiquitates Mathematicae”, 2, 2008, s. 47-67, DOI: 10.14708/am.v2i1.609, ISSN 1898-5203, URN: urn:nbn:se:ltu:diva-13072 .
Linki zewnętrzne
- Funkcja dzeta Riemanna (ang.) w encyklopedii MathWorld