Orientacja (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie

[wersja przejrzana]

← poprzednia edycja następna edycja →

Usunięta treść Dodana treść

WizualnieWikikod

Jednokolumnowy

Wersja z 20:37, 27 kwi 2019

Orientacja – pojęcie matematyczne odnoszące się do kilku obiektów oznaczające intuicyjnie określenie „strony” wierzchniej lub spodniej („lewej” lub „prawej”) obiektu. W szczególności jeżeli dana przestrzeń nie jest orientowalna, to znaczy, że nie jest możliwe wyróżnienie jej „stron”.

Orientacja rzeczywistej przestrzeni liniowej to podział baz uporządkowanych na „dodatnio” zorientowane i „ujemnie” zorientowane. W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej dwie możliwe orientacje baz nazywa się prawoskrętną i lewoskrętną (zob. reguła prawej dłoni). Jednakże wybór orientacji jest niezależny od skrętności bazy (chociaż o bazach prawoskrętnych mówi się zwykle, że są zorientowane dodatnio, można jednak przypisać im orientację ujemną).

Przestrzeń liniowa

Niech $X$ będzie $n$ -wymiarową rzeczywistą przestrzenią liniową, zaś układy wektorów $a_{1},\dots ,a_{n}$ oraz $b_{1},\dots ,b_{n}$ jej bazami algebraicznymi. Macierz przejścia $P_{ab}$ od bazy $(a_{i})$ do $(b_{i})$ jest nieosobliwa. Oczywiście macierzą przejścia $P_{ba}$ od bazy $(b_{i})$ do $(a_{i})$ jest macierz do niej odwrotna. Obie te macierze posiadają wyznacznik tego samego znaku.

Bazy $(a_{i}),(b_{i})$ przestrzeni $X$ są zgodnie zorientowane, jeżeli wyznacznik macierzy przejścia $P_{ab}$ jest dodatni, w przeciwnym wypadku mówi się, że bazy te są przeciwnie zorientowane. Relacja zgodnej zorientowania między bazami przestrzeni $X$ jest relacją równoważności, zatem rozbija ona rodzinę wszystkich baz tej przestrzeni na klasy abstrakcji nazywane orientacjami tej przestrzeni. Jeżeli $(a_{i})$ jest ustaloną bazą $X,$ to każda baza jest zorientowana zgodnie z nią lub z bazą $-a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}.$ Jeżeli $\tau$ jest orientacją $X,$ to jej drugą orientację nazywamy przeciwną względem $\tau$ i oznaczamy $-\tau .$

Parę $(X,\tau ),$ czyli przestrzeń liniową $X$ wraz z ustaloną jej orientacją $\tau$ nazywa się przestrzenią zorientowaną. Orientację przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ wyznaczoną przez jej bazę kanoniczną określa się jako orientację dodatnią, zaś przeciwną względem niej – orientacją ujemną.

Zobacz też

powierzchnia zorientowana

Bibliografia

A. Birkolc, Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002.

@@ Linia 8: / Linia 8: @@
 Niech <math>X</math> będzie <math>n</math>-wymiarową [[liczby rzeczywiste|rzeczywistą]] [[przestrzeń liniowa|przestrzenią liniową]], zaś układy wektorów <math>a_1, \dots, a_n</math> oraz <math>b_1, \dots, b_n</math> jej bazami algebraicznymi. [[Macierz przekształcenia liniowego|Macierz przejścia]] <math>P_{ab}</math> od bazy <math>(a_i)</math> do <math>(b_i)</math> jest [[Macierz odwrotna|nieosobliwa]]. Oczywiście macierzą przejścia <math>P_{ba}</math> od bazy <math>(b_i)</math> do <math>(a_i)</math> jest macierz do niej [[macierz odwrotna|odwrotna]]. Obie te macierze posiadają [[wyznacznik]] tego samego znaku.
-Bazy <math>(a_i), (b_i)</math> przestrzeni <math>X</math> są '''zgodnie zorientowane''', jeżeli wyznacznik macierzy przejścia <math>P_{ab}</math> jest dodatni, w przeciwnym wypadku mówi się, że bazy te są '''przeciwnie zorientowane'''. Relacja zgodnej zorientowania między bazami przestrzeni <math>X</math> jest [[relacja równoważności|relacją równoważności]], zatem rozbija ona rodzinę wszystkich baz tej przestrzeni na [[Relacja równoważności|klasy abstrakcji]] nazywane '''orientacjami''' tej przestrzeni. Jeżeli <math>(a_i)</math> jest ustaloną bazą <math>X</math>, to każda baza jest zorientowana zgodnie z nią lub z bazą <math>-a_1, a_2, \dots, a_n</math>. Jeżeli <math>\tau</math> jest orientacją <math>X</math>, to jej drugą orientację nazywamy '''przeciwną''' względem <math>\tau</math> i oznaczamy <math>-\tau</math>.
+Bazy <math>(a_i), (b_i)</math> przestrzeni <math>X</math> są '''zgodnie zorientowane''', jeżeli wyznacznik macierzy przejścia <math>P_{ab}</math> jest dodatni, w przeciwnym wypadku mówi się, że bazy te są '''przeciwnie zorientowane'''. Relacja zgodnej zorientowania między bazami przestrzeni <math>X</math> jest [[relacja równoważności|relacją równoważności]], zatem rozbija ona rodzinę wszystkich baz tej przestrzeni na [[Relacja równoważności|klasy abstrakcji]] nazywane '''orientacjami''' tej przestrzeni. Jeżeli <math>(a_i)</math> jest ustaloną bazą <math>X,</math> to każda baza jest zorientowana zgodnie z nią lub z bazą <math>-a_1, a_2, \dots, a_n.</math> Jeżeli <math>\tau</math> jest orientacją <math>X,</math> to jej drugą orientację nazywamy '''przeciwną''' względem <math>\tau</math> i oznaczamy <math>-\tau.</math>
-Parę <math>(X, \tau)</math>, czyli przestrzeń liniową <math>X</math> wraz z ustaloną jej orientacją <math>\tau</math> nazywa się '''przestrzenią zorientowaną'''. Orientację przestrzeni <math>\mathbb R^n</math> wyznaczoną przez jej bazę kanoniczną określa się jako '''orientację dodatnią''', zaś przeciwną względem niej – '''orientacją ujemną'''.
+Parę <math>(X, \tau),</math> czyli przestrzeń liniową <math>X</math> wraz z ustaloną jej orientacją <math>\tau</math> nazywa się '''przestrzenią zorientowaną'''. Orientację przestrzeni <math>\mathbb R^n</math> wyznaczoną przez jej bazę kanoniczną określa się jako '''orientację dodatnią''', zaś przeciwną względem niej – '''orientacją ujemną'''.
 == Zobacz też ==
@@ Linia 16: / Linia 16: @@
 == Bibliografia ==
-* A. Birkolc ''Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych'', Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002.
+* A. Birkolc, ''Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych'', Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002.
 [[Kategoria:Analiza matematyczna]]