Skończenie generowana grupa przemienna: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana]

Usunięta treść Dodana treść

Jednokolumnowy

Wersja z 00:07, 4 maj 2019

Skończenie generowana grupa przemienna – grupa przemienna (abelowa), której zbiór generatorów jest skończony. W szczególności, każda skończona grupa abelowa jest skończenie generowana.

Skończenie generowane grupy mają prostą strukturę i mogą być całkowicie sklasyfikowane, jak wyjaśniono niżej.

Definicja

Niech $(G,+)$ będzie przemienna. Grupę tę nazywa się skończenie generowaną, jeżeli istnieje skończenie wiele takich elementów $x_{1},\dots ,x_{s}\in G,$ że każdy $x\in G$ może być zapisany jako

x=n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\ldots n_{s}x_{s},

gdzie $n_{1},\dots ,n_{s}$ są całkowite. Wtedy mówi się, że zbiór $\{x_{1},\dots ,x_{s}\}$ jest zbiorem generującym (generatorów) $G$ lub że $x_{1},\dots ,x_{s}$ generują $G.$

Przykłady

Liczby całkowite $(\mathbb {Z} ,+)$ są skończenie generowaną grupą abelową,
liczby całkowite modulo n $\mathbb {Z} _{n}$ są skończenie generowanymi grupami przemiennymi,
dowolna suma prosta skończenie wielu skończenie generowanych grup przemiennych także jest skończenie generowaną grupą przemienną

Powyższa lista wyczerpuje przykłady podgrup skończenie generowanych.

Grupa $(\mathbb {Q} ,+)$ liczb wymiernych nie jest skończenie generowana: niech $x_{1},\dots ,x_{s}$ będą liczbami wymiernymi, a $w$ liczbą naturalną względnie pierwszą z mianownikami liczb $x_{1},\dots ,x_{s},$ wtedy przedstawienie elementu ${\tfrac {1}{w}}$ za pomocą $x_{1},\dots ,x_{s}$ okazuje się niemożliwe.

Klasyfikacja

Twierdzenie o klasyfikacji skończenie generowanych grup abelowych (Frobenius i Stickelberger, 1878), będące szczególnym przypadkiem twierdzenia strukturalnego dla skończenie generowanych modułów nad dziedziną ideałów głównych (twierdzenia Frobeniusa o równoważności macierzy nad pierścieniem liczb całkowitych)^[1], może być wyrażone na dwa niżej wymienione sposoby (podobnie jak dla d.i.g.). Jego szczególnym przypadkiem jest twierdzenie o klasyfikacji skończonych grup przemiennych. Wynik ten ma zastosowanie praktyczne w informatyce: obliczenia w poszczególnych grupach rozkładu mogą być wykonywane równolegle (tzn. niezależnie od siebie).

Rozkład na czynniki pierwsze

Zobacz też: rozkład na czynniki i czynnik pierwszy.

Sformułowanie rozkładu na czynniki pierwsze mówi, że każda skończenie generowana grupa abelowa $G$ jest izomorficzna z sumą prostą cyklicznych grup o rzędach będącymi potęgami liczb pierwszych oraz nieskończonych grup cyklicznych. To jest, każda taka grupa jest izomorficzna z grupą postaci

\mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{q_{1}}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{q_{t}},

gdzie $n\geqslant 0,$ a liczby $q_{1},\dots ,q_{t}$ są (niekoniecznie różnymi) potęgami liczb pierwszych. W szczególności $G$ jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy $n=0.$ Wartości $n,q_{1},\dots ,q_{t}$ są wyznaczone jednoznacznie (co do porządku) przez $G.$

Rozkład na czynniki niezmiennicze

Dowolna skończenie generowana grupa przemienna $G$ może być zapisana także jako iloczyn prosty postaci

\mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}},

gdzie $k_{1}$ dzieli $k_{2},$ które dzieli $k_{3}$ i tak dalej, aż do $k_{u}.$ Znowu, liczby $n,k_{1},\dots ,k_{u}$ są jednoznacznie wyznaczone przez $G$ (tutaj wraz z jednoznacznym porządkiem) i są nazywane czynnikami niezmienniczymi, tzn. dwie skończenie generowane grupy abelowe są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy mają jednakowe ciągi czynników niezmienniczych; liczba $n$ jest równa randze grupy abelowej.

Równoważność

Powyższe stwierdzenia są równoważne na mocy chińskiego twierdzenia o resztach, które mówi w tym wypadku, że $\mathbb {Z} _{m}$ jest izomorficzna z iloczynem prostym $\mathbb {Z} _{j}$ przez $\mathbb {Z} _{k}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $j$ oraz $k$ są względnie pierwsze i $m=jk.$

Wnioski

Wyrażone inaczej twierdzenie o klasyfikacji mówi, że skończenie generowana grupa przemienna jest sumą prostą grupy abelowej wolnej skończonej rangi i skończonej grupy przemiennej, z których każda jest wyznaczona jednoznacznie co do izomorfizmu. Skończona grupa abelowa jest podgrupą torsyjną $G.$ Ranga $G$ jest określona jako ranga beztorsyjnej części $G;$ tzn. jest to liczba $n$ w powyższych wzorach.

Wnioskiem płynącym z twierdzenia o klasyfikacji jest, że każda skończenie generowana beztorsyjna grupa przemienna jest wolną grupą abelową. Warunek skończonego generowania jest tu kluczowy: $\mathbb {Q}$ jest beztorsyjna, ale nie jest wolna grupą abelową.

Każda podgrupa i grupa ilorazowa skończenie generowanej grupy abelowej jest znowu skończenie generowaną grupą abelową. Skończenie generowane grupy przemienne, wraz z homomorfizmami grupowymi stanowią kategorię przemienną, będącą podkategorią Serre’a kategorii grup abelowych.

Nieskończenie generowane grupy przemienne

Należy mieć na uwadze, że nie każda grupa przemienna skończonej rangi jest skończenie generowana; grupa pierwszej rangi $\mathbb {Q}$ jest jednym z przykładów, kolejnym jest grupa rangi zerowej będąca sumą prostą przeliczalnie wielu egzemplarzy $\mathbb {Z} _{2}.$

Zobacz też

twierdzenie Jordana-Höldera jako uogólnienie na grupy nieprzemienne

Przypisy

↑ L. Fuchs, Infinite abelian groups, Academic Press 1970, tw. III.15.2.

[1] L. Fuchs, Infinite abelian groups, Academic Press 1970, tw. III.15.2.

[1]

@@ Linia 4: / Linia 4: @@
 == Definicja ==
-Niech <math>(G, +)</math> będzie przemienna. Grupę tę nazywa się '''skończenie generowaną''', jeżeli istnieje skończenie wiele takich elementów <math>x_1, \ldots, x_s \in G</math>, że każdy <math>x \in G</math> może być zapisany jako
+Niech <math>(G, +)</math> będzie przemienna. Grupę tę nazywa się '''skończenie generowaną''', jeżeli istnieje skończenie wiele takich elementów <math>x_1, \dots, x_s \in G,</math> że każdy <math>x \in G</math> może być zapisany jako
-:<math>x = n_1 x_1 + n_2 x_2 + \ldots n_s x_s</math>,
+: <math>x = n_1 x_1 + n_2 x_2 + \ldots n_s x_s,</math>
-gdzie <math>n_1, \ldots, n_s</math> są [[liczby całkowite|całkowite]]. Wtedy mówi się, że zbiór <math>\{x_1, \ldots, x_s\}</math> jest ''[[zbiór generatorów grupy|zbiorem generującym]] (generatorów)'' <math>G</math> lub że <math>x_1, \ldots, x_s</math> ''generują'' <math>G</math>.
+gdzie <math>n_1, \dots, n_s</math> są [[liczby całkowite|całkowite]]. Wtedy mówi się, że zbiór <math>\{x_1, \dots, x_s\}</math> jest ''[[zbiór generatorów grupy|zbiorem generującym]] (generatorów)'' <math>G</math> lub że <math>x_1, \dots, x_s</math> ''generują'' <math>G.</math>
 == Przykłady ==
@@ Linia 13: / Linia 14: @@
 * dowolna [[iloczyny grup|suma prosta]] skończenie wielu skończenie generowanych grup przemiennych także jest skończenie generowaną grupą przemienną
 Powyższa lista wyczerpuje przykłady podgrup skończenie generowanych.
-* Grupa <math>(\mathbb Q, +)</math> [[liczby wymierne|liczb wymiernych]] nie jest skończenie generowana: niech <math>x_1, \ldots, x_s</math> będą liczbami wymiernymi, a <math>w</math> [[liczby naturalne|liczbą naturalną]] [[liczby względnie pierwsze|względnie pierwszą]] z mianownikami liczb <math>x_1, \ldots, x_s</math>, wtedy przedstawienie elementu <math>\tfrac{1}{w}</math> za pomocą <math>x_1, \ldots, x_s</math> okazuje się niemożliwe.
+* Grupa <math>(\mathbb Q, +)</math> [[liczby wymierne|liczb wymiernych]] nie jest skończenie generowana: niech <math>x_1, \dots, x_s</math> będą liczbami wymiernymi, a <math>w</math> [[liczby naturalne|liczbą naturalną]] [[liczby względnie pierwsze|względnie pierwszą]] z mianownikami liczb <math>x_1, \dots, x_s,</math> wtedy przedstawienie elementu <math>\tfrac{1}{w}</math> za pomocą <math>x_1, \dots, x_s</math> okazuje się niemożliwe.
 == Klasyfikacja ==
-'''Twierdzenie o klasyfikacji skończenie generowanych grup abelowych''' ([[Ferdinand Georg Frobenius|Frobenius]] i [[Ludwig Stickelberger|Stickelberger]], 1878), będące szczególnym przypadkiem [[twierdzenie strukturalne dla skończenie generowanych modułów nad dziedziną ideałów głównych|twierdzenia strukturalnego dla skończenie generowanych modułów nad dziedziną ideałów głównych]] (twierdzenia Frobeniusa o równoważności [[macierz]]y nad [[pierścień liczb całkowitych|pierścieniem liczb całkowitych]])<ref>L. Fuchs, ''Infinite abelian groups'', Academic Press 1970, tw. III.15.2</ref>, może być wyrażone na dwa niżej wymienione sposoby (podobnie jak dla [[Pierścień ideałów głównych|d.i.g.]]). Jego szczególnym przypadkiem jest [[Grupa przemienna#Skończone grupy przemienne|twierdzenie o klasyfikacji skończonych grup przemiennych]]. Wynik ten ma zastosowanie praktyczne w [[informatyka|informatyce]]: obliczenia w poszczególnych grupach rozkładu mogą być [[obliczenia równoległe|wykonywane równolegle]] (tzn. niezależnie od siebie).
+'''Twierdzenie o klasyfikacji skończenie generowanych grup abelowych''' ([[Ferdinand Georg Frobenius|Frobenius]] i [[Ludwig Stickelberger|Stickelberger]], 1878), będące szczególnym przypadkiem [[twierdzenie strukturalne dla skończenie generowanych modułów nad dziedziną ideałów głównych|twierdzenia strukturalnego dla skończenie generowanych modułów nad dziedziną ideałów głównych]] (twierdzenia Frobeniusa o równoważności [[macierz]]y nad [[pierścień liczb całkowitych|pierścieniem liczb całkowitych]])<ref>L. Fuchs, ''Infinite abelian groups'', Academic Press 1970, tw. III.15.2.</ref>, może być wyrażone na dwa niżej wymienione sposoby (podobnie jak dla [[Pierścień ideałów głównych|d.i.g.]]). Jego szczególnym przypadkiem jest [[Grupa przemienna#Skończone grupy przemienne|twierdzenie o klasyfikacji skończonych grup przemiennych]]. Wynik ten ma zastosowanie praktyczne w [[informatyka|informatyce]]: obliczenia w poszczególnych grupach rozkładu mogą być [[obliczenia równoległe|wykonywane równolegle]] (tzn. niezależnie od siebie).
 === Rozkład na czynniki pierwsze ===
 {{Zobacz też|rozkład na czynniki|czynnik pierwszy}}
-Sformułowanie rozkładu na czynniki pierwsze mówi, że każda skończenie generowana grupa abelowa <math>G</math> jest izomorficzna z [[iloczyny grup#Suma prosta|sumą prostą]] [[grupa cykliczna|cyklicznych grup]] o rzędach będącymi potęgami [[liczby pierwsze|liczb pierwszych]] oraz nieskończonych grup cyklicznych. To jest, każda taka grupa jest izomorficzna z grupą postaci
+Sformułowanie rozkładu na czynniki pierwsze mówi, że każda skończenie generowana grupa abelowa <math>G</math> jest izomorficzna z [[iloczyny grup#Suma prosta|sumą prostą]] [[grupa cykliczna|cyklicznych grup]] o rzędach będącymi potęgami [[Liczba pierwsza|liczb pierwszych]] oraz nieskończonych grup cyklicznych. To jest, każda taka grupa jest izomorficzna z grupą postaci
-:<math>\mathbb Z^n \oplus \mathbb Z_{q_1} \oplus \ldots \oplus \mathbb Z_{q_t}</math>,
+: <math>\mathbb Z^n \oplus \mathbb Z_{q_1} \oplus \ldots \oplus \mathbb Z_{q_t},</math>
-gdzie <math>n \geqslant 0</math>, a liczby <math>q_1, \ldots, q_t</math> są (niekoniecznie różnymi) potęgami liczb pierwszych. W szczególności <math>G</math> jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy <math>n = 0</math>. Wartości <math>n, q_1, \ldots, q_t</math> są wyznaczone jednoznacznie (co do porządku) przez <math>G</math>.
+gdzie <math>n \geqslant 0,</math> a liczby <math>q_1, \dots, q_t</math> są (niekoniecznie różnymi) potęgami liczb pierwszych. W szczególności <math>G</math> jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy <math>n = 0.</math> Wartości <math>n, q_1, \dots, q_t</math> są wyznaczone jednoznacznie (co do porządku) przez <math>G.</math>
 === Rozkład na czynniki niezmiennicze ===
 Dowolna skończenie generowana grupa przemienna <math>G</math> może być zapisana także jako iloczyn prosty postaci
-:<math>\mathbb Z^n \oplus \mathbb Z_{k_1} \oplus \ldots \oplus \mathbb Z_{k_u}</math>,
+: <math>\mathbb Z^n \oplus \mathbb Z_{k_1} \oplus \ldots \oplus \mathbb Z_{k_u},</math>
-gdzie <math>k_1</math> [[dzielenie|dzieli]] <math>k_2</math>, które dzieli <math>k_3</math> i tak dalej, aż do <math>k_u</math>. Znowu, liczby <math>n, k_1, \ldots, k_u</math> są jednoznacznie wyznaczone przez <math>G</math> (tutaj wraz z jednoznacznym porządkiem) i są nazywane [[czynnik niezmienniczy|czynnikami niezmienniczymi]], tzn. dwie skończenie generowane grupy abelowe są [[izomorfizm|izomorficzne]] wtedy i tylko wtedy, gdy mają jednakowe ciągi czynników niezmienniczych; liczba <math>n</math> jest równa [[ranga grupy abelowej|randze grupy abelowej]].
+gdzie <math>k_1</math> [[dzielenie|dzieli]] <math>k_2,</math> które dzieli <math>k_3</math> i tak dalej, aż do <math>k_u.</math> Znowu, liczby <math>n, k_1, \dots, k_u</math> są jednoznacznie wyznaczone przez <math>G</math> (tutaj wraz z jednoznacznym porządkiem) i są nazywane [[czynnik niezmienniczy|czynnikami niezmienniczymi]], tzn. dwie skończenie generowane grupy abelowe są [[izomorfizm|izomorficzne]] wtedy i tylko wtedy, gdy mają jednakowe ciągi czynników niezmienniczych; liczba <math>n</math> jest równa [[ranga grupy abelowej|randze grupy abelowej]].
 === Równoważność ===
-Powyższe stwierdzenia są równoważne na mocy [[chińskie twierdzenie o resztach|chińskiego twierdzenia o resztach]], które mówi w tym wypadku, że <math>\mathbb Z_m</math> jest izomorficzna z iloczynem prostym <math>\mathbb Z_j</math> przez <math>\mathbb Z_k</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>j</math> oraz <math>k</math> są [[liczby względnie pierwsze|względnie pierwsze]] i <math>m = jk</math>.
+Powyższe stwierdzenia są równoważne na mocy [[chińskie twierdzenie o resztach|chińskiego twierdzenia o resztach]], które mówi w tym wypadku, że <math>\mathbb Z_m</math> jest izomorficzna z iloczynem prostym <math>\mathbb Z_j</math> przez <math>\mathbb Z_k</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>j</math> oraz <math>k</math> są [[liczby względnie pierwsze|względnie pierwsze]] i <math>m = jk.</math>
 == Wnioski ==
-Wyrażone inaczej twierdzenie o klasyfikacji mówi, że skończenie generowana grupa przemienna jest sumą prostą [[grupa abelowa wolna|grupy abelowej wolnej]] skończonej [[grupa abelowa wolna|rangi]] i skończonej grupy przemiennej, z których każda jest wyznaczona jednoznacznie co do izomorfizmu. Skończona grupa abelowa jest [[podgrupa torsyjna|podgrupą torsyjną]] <math>G</math>. Ranga <math>G</math> jest określona jako ranga beztorsyjnej części <math>G</math>; tzn. jest to liczba <math>n</math> w powyższych wzorach.
+Wyrażone inaczej twierdzenie o klasyfikacji mówi, że skończenie generowana grupa przemienna jest sumą prostą [[grupa abelowa wolna|grupy abelowej wolnej]] skończonej [[grupa abelowa wolna|rangi]] i skończonej grupy przemiennej, z których każda jest wyznaczona jednoznacznie co do izomorfizmu. Skończona grupa abelowa jest [[podgrupa torsyjna|podgrupą torsyjną]] <math>G.</math> Ranga <math>G</math> jest określona jako ranga beztorsyjnej części <math>G;</math> tzn. jest to liczba <math>n</math> w powyższych wzorach.
 [[konkluzja|Wnioskiem]] płynącym z twierdzenia o klasyfikacji jest, że każda skończenie generowana beztorsyjna grupa przemienna jest wolną grupą abelową. Warunek skończonego generowania jest tu kluczowy: <math>\mathbb Q</math> jest beztorsyjna, ale nie jest wolna grupą abelową.
-Każda [[podgrupa]] i [[grupa ilorazowa]] skończenie generowanej grupy abelowej jest znowu skończenie generowaną grupą abelową. Skończenie generowane grupy przemienne, wraz z [[homomorfizmy grup|homomorfizmami grupowymi]] stanowią [[kategoria przemienna|kategorię przemienną]], będącą [[podkategoria|podkategorią Serre'a]] [[kategoria grup przemiennych|kategorii grup abelowych]].
+Każda [[podgrupa]] i [[grupa ilorazowa]] skończenie generowanej grupy abelowej jest znowu skończenie generowaną grupą abelową. Skończenie generowane grupy przemienne, wraz z [[Homomorfizm grup|homomorfizmami grupowymi]] stanowią [[kategoria przemienna|kategorię przemienną]], będącą [[podkategoria|podkategorią Serre’a]] [[kategoria grup przemiennych|kategorii grup abelowych]].
 == Nieskończenie generowane grupy przemienne ==
-Należy mieć na uwadze, że nie każda grupa przemienna skończonej rangi jest skończenie generowana; grupa pierwszej rangi <math>\mathbb Q</math> jest jednym z przykładów, kolejnym jest grupa rangi zerowej będąca sumą prostą [[zbiór przeliczalny|przeliczalnie wielu]] egzemplarzy <math>\mathbb Z_2</math>.
+Należy mieć na uwadze, że nie każda grupa przemienna skończonej rangi jest skończenie generowana; grupa pierwszej rangi <math>\mathbb Q</math> jest jednym z przykładów, kolejnym jest grupa rangi zerowej będąca sumą prostą [[zbiór przeliczalny|przeliczalnie wielu]] egzemplarzy <math>\mathbb Z_2.</math>
 == Zobacz też ==
-* [[twierdzenie Jordana-Höldera]] jako uogólnienie na grupy nieprzemienne.
+* [[twierdzenie Jordana-Höldera]] jako uogólnienie na grupy nieprzemienne
 == Przypisy ==