Równanie Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
m przenoszę szablon {{Ogólna teoria względności}} na koniec artykułu |
|||
Linia 1: | Linia 1: | ||
'''Równanie Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa''' (równanie TOV) – szczególny przypadek [[ |
'''Równanie Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa''' (równanie TOV) – szczególny przypadek [[Równanie Einsteina|równań Einsteina]], jego rozwiązanie przedstawia strukturę sferycznie symetrycznego i statycznego rozkładu materii opisanej danym [[Równanie stanu (termodynamika)|równaniem stanu]]. Stosowane jest przede wszystkim przy modelowaniu budowy [[Gwiazda|gwiazd]] o bardzo silnym [[Pole grawitacyjne|polu grawitacyjnym]] (na przykład [[Gwiazda neutronowa|gwiazd neutronowych]]). |
||
== Założenia == |
== Założenia == |
||
Poniżej przedstawiono zarys wyprowadzenia równania. Ogólną [[Przestrzeń metryczna|metrykę]] sferycznie symetrycznego i niezależnego od czasu rozkładu materii można zapisać w następujący sposób: |
Poniżej przedstawiono zarys wyprowadzenia równania. Ogólną [[Przestrzeń metryczna|metrykę]] sferycznie symetrycznego i niezależnego od czasu rozkładu materii można zapisać w następujący sposób: |
||
:: <math>ds^2=e^{\nu(r)} c^2 dt^2 - e^{\lambda(r)}dr^2 - r^2(d\theta^2 + \sin^2 \theta\, d\varphi^2),</math> |
|||
gdzie standardowo ''t'' jest współrzędną czasową, ''r'' radialną a ''θ'' i ''φ'' kątowymi (odpowiednio, [[Sferyczny układ współrzędnych|zenitalną i azymutalną]]). |
|||
gdzie standardowo: |
|||
⚫ | Zakładamy także, że materia jest [[Lepkość|nielepka]], nie [[Przewodzenie ciepła|przewodzi ciepła]] i nie wykazuje [[ścinanie|napięć ścinających]] tj. [[tensor napięć-energii]] jest taki jak dla [[Płyn |
||
: <math>t</math> – współrzędna czasowa, |
|||
⚫ | |||
: <math>r</math> – radialna, |
|||
funkcją ''λ(r)'': |
|||
: <math>\theta</math> i <math>\varphi</math> – kątowe (odpowiednio, [[Układ współrzędnych sferycznych|zenitalna i azymutalna]]). |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | Zakładamy także, że materia jest [[Lepkość|nielepka]], nie [[Przewodzenie ciepła|przewodzi ciepła]] i nie wykazuje [[ścinanie|napięć ścinających]], tj. [[tensor napięć-energii]] jest taki jak dla [[Płyn idealny|płynu doskonałego]] w [[Ogólna teoria względności|Ogólnej Teorii Względności]]. Biorąc pod uwagę barotropowe [[Równanie stanu (termodynamika)|równanie stanu]] (ciśnienie <math>p</math> jest funkcją tylko jednej zmiennej, gęstości masy-energii <math>\rho</math>), dostajemy następujący związek z funkcją metryczną <math>\nu(r){:}</math> |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
funkcją <math>\lambda(r){:}</math> |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
\left(1+\frac{P(r)}{\rho(r)c^2}\right) |
\left(1+\frac{P(r)}{\rho(r)c^2}\right) |
||
\left(1+\frac{4{\pi}r^3P(r)}{M(r)c^2}\right) |
\left(1+\frac{4{\pi}r^3P(r)}{M(r)c^2}\right) |
||
\left(1-\frac{2GM(r)}{rc^2}\right)^{-1} |
\left(1-\frac{2GM(r)}{rc^2}\right)^{-1}.</math> |
||
</math> |
|||
[[Plik:TOV solution neutron quark star mass radius diagram.png|thumb|450px|Rozwiązanie równania TOV dla dwu reprezentatywnych równań stanu. Linia czerwona: gwiazda neutronowa (skład materii: npeμ, oddziaływanie jądrowe typu Skyrme-Lyon<ref>F. Douchin, P. Haensel, ''A unified equation of state of dense matter and neutron star structure'', |
[[Plik:TOV solution neutron quark star mass radius diagram.png|thumb|450px|Rozwiązanie równania TOV dla dwu reprezentatywnych równań stanu. Linia czerwona: gwiazda neutronowa (skład materii): npeμ, oddziaływanie jądrowe typu Skyrme-Lyon<ref>F. Douchin, P. Haensel, ''A unified equation of state of dense matter and neutron star structure'', „Astron. Astrophys.” 380, 151 (2001).</ref>. Linia niebieska: „naga” (tj. bez skorupy) gwiazda kwarkowa o równaniu stanu opisywanym modelem „worka” MIT o stałej sprzężenia <math>\alpha=0{,}17,</math> stałej worka B=60 MeV/fm³, masie kwarku dziwnego m<sub>s</sub>=200 MeV. Kropkami zaznaczono masy maksymalne (granice TOV).]] |
||
Równanie TOV jest zatem newtonowskim równaniem równowagi hydrostatycznej zmodyfikowanym przez człony relatywistyczne (w nawiasach). |
|||
=== Warunki brzegowe === |
=== Warunki brzegowe === |
||
Jeśli równanie opisuje [[Gwiazda neutronowa|gwiazdę]] w próżni, do rozwiązania używa się następujących warunków brzegowych: |
Jeśli równanie opisuje [[Gwiazda neutronowa|gwiazdę]] w próżni, do rozwiązania używa się następujących warunków brzegowych: |
||
* znikanie ciśnienia na powierzchni gwiazdy, |
* znikanie ciśnienia na powierzchni gwiazdy, <math>p(R) = 0</math> (warunek ten wyznacza współrzędną <math>r = R,</math> czyli promień gwiazdy), |
||
* zszywania się rozwiązania dla wnętrza gwiazdy z rozwiązaniem zewnętrznym, opisywanym [[Metryka Schwarzschilda|metryką Schwarzschilda]]: |
* zszywania się rozwiązania dla wnętrza gwiazdy z rozwiązaniem zewnętrznym, opisywanym [[Metryka Schwarzschilda|metryką Schwarzschilda]]: |
||
dla |
dla <math>r\geqslant R</math> funkcja metryczna <math>e^{\nu(r)} = 1 - 2GM/rc^2,</math> gdzie <math>M</math> jest całkowitą grawitacyjną masą [[Gwiazda neutronowa|gwiazdy]] mierzoną przez odległego obserwatora. |
||
=== Masa grawitacyjna, masa właściwa, masa barionowa, energia wiązania dla gwiazdy neutronowej === |
=== Masa grawitacyjna, masa właściwa, masa barionowa, energia wiązania dla gwiazdy neutronowej === |
||
Całkowita '''masa grawitacyjna''' |
Całkowita '''masa grawitacyjna''' <math>M</math> gwiazdy (mierzona przez odległego obserwatora znajdującego się np. na orbicie wokół gwiazdy), występująca w metryce dla odległości większych od promienia gwiazdy <math>R,</math> wyraża się następującym wzorem: |
||
:: <math>M=M_g(R)=4\pi\int_0^R \rho(r)r^2 dr.</math> |
|||
Pamiętając o tym, że element objętości |
Pamiętając o tym, że element objętości <math>dV</math> pomiędzy sferami o promieniach <math>r</math> oraz <math>r+dr</math> jest równy |
||
:: <math>dV = \frac{4\pi r^2 dr}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}},</math> |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
:: <math>M_p=M_p(R)=\int_0^R \rho dV = 4\pi\int_0^R \frac{\rho(r)r^2 dr}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}}.</math> |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
::::: <math>A_b=4\pi\int_0^{R} \frac{ n_b(r) r^2 dr}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}} \,,</math> |
|||
:: <math>\frac{1}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}} \geqslant 1 \implies M_p \geqslant M_g.</math> |
|||
⚫ | |||
⚫ | [[Plik:TOV solution homogeneous star mass radius diagram.png|thumb|450px|Diagram masa-promień dla sferycznej gwiazdy o stałej gęstości 10<sup>15</sup> g/cm |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
''m<sub>b</sub>≈[[Nukleony|m<sub>n</sub>]]'': |
|||
⚫ | |||
gdzie: |
|||
⚫ | |||
: <math>n_b(r)</math> jest gęstością barionową, tj. liczbą barionów w określonej objętości (zwyczajowo ''[[Femtometr|fm³]]''), |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | [[Plik:TOV solution homogeneous star mass radius diagram.png|thumb|450px|Diagram masa-promień dla sferycznej gwiazdy o stałej gęstości 10<sup>15</sup> g/cm³ (linia czerwona), z zaznaczoną masą maksymalną (czerwona kropka) wynikającą z ograniczenia pochodzącego z rozwiązania równania TOV (niebieska linia).]] |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
:: <math>E_G=\left(M_g-M_p\right)c^2</math> |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
=== Rozwiązanie dla przypadku materii nieściśliwej === |
=== Rozwiązanie dla przypadku materii nieściśliwej === |
||
W ogólnym przypadku nie istnieje rozwiązanie analityczne, tj. zależność gęstości, ciśnienia od odległości od centrum gwiazdy itd. można |
W ogólnym przypadku nie istnieje rozwiązanie analityczne, tj. zależność gęstości, ciśnienia od odległości od centrum gwiazdy itd. można otrzymać tylko numerycznie. Równanie TOV można rozwiązać analitycznie dla równania stanu <math>\rho = \mathrm{const}.</math> Mamy wtedy |
||
:: <math>M(r)=\frac{4}{3}\pi\rho r^3.</math> |
|||
Korzystając z tego związku, równanie równowagi hydrostatycznej można analitycznie scałkować. Otrzymujemy: |
Korzystając z tego związku, równanie równowagi hydrostatycznej można analitycznie scałkować. Otrzymujemy: |
||
:: <math>\frac{p(r)}{\rho} = \frac{\sqrt{1-2GMr^2/R^3c^2}-\sqrt{1-2GM/Rc^2}}{3\sqrt{1-2GM/Rc^2}-\sqrt{1-2GMr^2/R^3c^2}}.</math> |
|||
Zwiększanie masy gwiazdy prowadzi do wzrostu ciśnienia centralnego, |
Zwiększanie masy gwiazdy prowadzi do wzrostu ciśnienia centralnego, <math>p_c = p(r=0).</math> Warunek <math>p_c = \infty</math> stanowi ograniczenie na stosunek promienia Schwarzschilda do promienia gwiazdy: |
||
:: <math>\frac{2GM}{Rc^2}<\frac{8}{9}.</math> |
|||
Ograniczenie to, dla ustalonej gęstości, wyznacza maksymalną masę gwiazdy, czyli [[Granica Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa|granicę TOV]]. |
Ograniczenie to, dla ustalonej gęstości, wyznacza maksymalną masę gwiazdy, czyli [[Granica Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa|granicę TOV]]. |
||
== Historia == |
== Historia == |
||
Równanie TOV w postaci przedstawionej powyżej zostało opublikowane w roku [[1939]] w czasopiśmie naukowym |
Równanie TOV w postaci przedstawionej powyżej zostało opublikowane w roku [[1939]] w czasopiśmie naukowym „[[Physical Review]]” przez [[Robert Oppenheimer|Roberta Oppenheimera]] i [[George Michael Volkoff|Georga M. Volkoffa]] w artykule pt. ''On Massive Neutron Cores''<ref>J.R. Oppenheimer, G.M. Volkoff, ''On Massive Neutron Cores'', „Phys. Rev.” 55, 374 (1939).</ref>, jednak fundamentalne znaczenie mają prace [[Richard Chace Tolman|Richarda C. Tolmana]] z roku 1934 pt. ''Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models''<ref>R.C. Tolman, ''Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models'', „Proc Natl Acad Sci USA”, 20(3), 169 (1934).</ref> oraz 1939 r. pt. ''Static Solutions of Einstein’s Field Equations for Spheres of Fluid''<ref>R.C. Tolman, ''Static Solutions of Einstein’s Field Equations for Spheres of Fluid'', „Phys. Rev.” 55, 364 (1939).</ref>, w których przeprowadził analizę sferycznie symetrycznych metryk. |
||
"Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models"<ref>R. C. Tolman, ''Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models'', Proc Natl Acad Sci U S A., 20(3), 169 (1934)</ref> oraz 1939 r., pt. "Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid"<ref>R. C. Tolman, ''Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid'', Phys. Rev. 55, 364 (1939)</ref>, w których przeprowadził analizę sferycznie symetrycznych metryk. |
|||
== Przypisy == |
== Przypisy == |
||
{{Przypisy}} |
{{Przypisy}} |
||
{{Ogólna teoria względności}} |
{{Ogólna teoria względności}} |
||
Wersja z 07:37, 18 mar 2020
Równanie Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa (równanie TOV) – szczególny przypadek równań Einsteina, jego rozwiązanie przedstawia strukturę sferycznie symetrycznego i statycznego rozkładu materii opisanej danym równaniem stanu. Stosowane jest przede wszystkim przy modelowaniu budowy gwiazd o bardzo silnym polu grawitacyjnym (na przykład gwiazd neutronowych).
Założenia
Poniżej przedstawiono zarys wyprowadzenia równania. Ogólną metrykę sferycznie symetrycznego i niezależnego od czasu rozkładu materii można zapisać w następujący sposób:
gdzie standardowo:
- – współrzędna czasowa,
- – radialna,
- i – kątowe (odpowiednio, zenitalna i azymutalna).
Zakładamy także, że materia jest nielepka, nie przewodzi ciepła i nie wykazuje napięć ścinających, tj. tensor napięć-energii jest taki jak dla płynu doskonałego w Ogólnej Teorii Względności. Biorąc pod uwagę barotropowe równanie stanu (ciśnienie jest funkcją tylko jednej zmiennej, gęstości masy-energii ), dostajemy następujący związek z funkcją metryczną
funkcją
a także związek pomiędzy masą zawartą w sferze o promieniu a promieniem tej sfery,
Przy tych założeniach równania Einsteina redukują się do
Równanie TOV jest zatem newtonowskim równaniem równowagi hydrostatycznej zmodyfikowanym przez człony relatywistyczne (w nawiasach).
Warunki brzegowe
Jeśli równanie opisuje gwiazdę w próżni, do rozwiązania używa się następujących warunków brzegowych:
- znikanie ciśnienia na powierzchni gwiazdy, (warunek ten wyznacza współrzędną czyli promień gwiazdy),
- zszywania się rozwiązania dla wnętrza gwiazdy z rozwiązaniem zewnętrznym, opisywanym metryką Schwarzschilda:
dla funkcja metryczna gdzie jest całkowitą grawitacyjną masą gwiazdy mierzoną przez odległego obserwatora.
Masa grawitacyjna, masa właściwa, masa barionowa, energia wiązania dla gwiazdy neutronowej
Całkowita masa grawitacyjna gwiazdy (mierzona przez odległego obserwatora znajdującego się np. na orbicie wokół gwiazdy), występująca w metryce dla odległości większych od promienia gwiazdy wyraża się następującym wzorem:
Pamiętając o tym, że element objętości pomiędzy sferami o promieniach oraz jest równy
można definiować dwie inne charakterystyczne masy wynikające z równania TOV. Masą właściwą gwiazdy nazywa się całkę gęstości masy-energii po objętości, biorąc pod uwagę lokalne zakrzywienie przestrzeni przez masę
Jako że
Liczba barionów w objętości gwiazdy jest równa
gdzie:
- jest gęstością barionową, tj. liczbą barionów w określonej objętości (zwyczajowo fm³),
- dla gwiazdy neutronowej o typowej masie grawitacyjnej 1,4 masy Słońca jest rzędu 1057 cząstek.
Masa barionowa (zwana również masą spoczynkową) jest równa liczbie barionowej gwiazdy pomnożonej przez masę barionu mn:
Zdefiniowane wyżej masy używa się do obliczenia energii wiązania. Różnica
jest energią grawitacyjną gwiazdy (energią zmagazynowaną w gwieździe, którą można odzyskać przenosząc małe elementy do nieskończoności). Grawitacyjna energia wiązania to
Energia wewnętrzna gwiazdy (energia pochodząca z równania stanu, bez uwzględnienia gęstości spoczynkowej), to
z podobnie jak poprzednio zdefiniowaną wewnętrzną energią wiązania
Całkowita energia wiązania gwiazdy to zatem
Dla typowego równania stanu, gwiazda neutronowa o masie masy Słońca jest związana energią wiązania
Rozwiązanie dla przypadku materii nieściśliwej
W ogólnym przypadku nie istnieje rozwiązanie analityczne, tj. zależność gęstości, ciśnienia od odległości od centrum gwiazdy itd. można otrzymać tylko numerycznie. Równanie TOV można rozwiązać analitycznie dla równania stanu Mamy wtedy
Korzystając z tego związku, równanie równowagi hydrostatycznej można analitycznie scałkować. Otrzymujemy:
Zwiększanie masy gwiazdy prowadzi do wzrostu ciśnienia centralnego, Warunek stanowi ograniczenie na stosunek promienia Schwarzschilda do promienia gwiazdy:
Ograniczenie to, dla ustalonej gęstości, wyznacza maksymalną masę gwiazdy, czyli granicę TOV.
Historia
Równanie TOV w postaci przedstawionej powyżej zostało opublikowane w roku 1939 w czasopiśmie naukowym „Physical Review” przez Roberta Oppenheimera i Georga M. Volkoffa w artykule pt. On Massive Neutron Cores[2], jednak fundamentalne znaczenie mają prace Richarda C. Tolmana z roku 1934 pt. Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models[3] oraz 1939 r. pt. Static Solutions of Einstein’s Field Equations for Spheres of Fluid[4], w których przeprowadził analizę sferycznie symetrycznych metryk.
Przypisy
- ↑ F. Douchin, P. Haensel, A unified equation of state of dense matter and neutron star structure, „Astron. Astrophys.” 380, 151 (2001).
- ↑ J.R. Oppenheimer, G.M. Volkoff, On Massive Neutron Cores, „Phys. Rev.” 55, 374 (1939).
- ↑ R.C. Tolman, Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models, „Proc Natl Acad Sci USA”, 20(3), 169 (1934).
- ↑ R.C. Tolman, Static Solutions of Einstein’s Field Equations for Spheres of Fluid, „Phys. Rev.” 55, 364 (1939).