Diagram przemienny: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
drobne redakcyjne |
|||
Linia 1: | Linia 1: | ||
'''Diagram przemienny''' – w [[matematyka|matematyce]], a szczególnie |
'''Diagram przemienny''' – w [[matematyka|matematyce]], a szczególnie w [[teoria kategorii|teorii kategorii]], [[diagram (teoria kategorii)|diagram]] składający się z obiektów (nazywanych również ''wierzchołkami'') i [[Kategoria (matematyka)|morfizmów]] (znanych także jako ''strzałki'' lub ''krawędzie''), w którym wybranie dowolnej drogi skierowanej między dwoma jego obiektami prowadzi do tego samego wyniku ze względu na [[kategoria (matematyka)|składanie]] morfizmów. Diagramy przemienne odgrywają w teorii kategorii rolę analogiczną do [[równanie|równań]] w [[algebra|algebrze]]. |
||
== Przykłady == |
== Przykłady == |
Wersja z 16:09, 10 kwi 2020
Diagram przemienny – w matematyce, a szczególnie w teorii kategorii, diagram składający się z obiektów (nazywanych również wierzchołkami) i morfizmów (znanych także jako strzałki lub krawędzie), w którym wybranie dowolnej drogi skierowanej między dwoma jego obiektami prowadzi do tego samego wyniku ze względu na składanie morfizmów. Diagramy przemienne odgrywają w teorii kategorii rolę analogiczną do równań w algebrze.
Przykłady
W następującym przykładzie przedstawiającym pierwsze twierdzenie o izomorfizmie przemienność oznacza, że
Niżej znajduje się standardowy kwadrat przemienny, w którym
Symbole
W tekstach algebraicznych rodzaj morfizmu może być oznaczony różnymi typami strzałek: monomorfizmy za pomocą epimorfizmy za pomocą a izomorfizmy za pomocą Przerywana strzałka zwykle oznacza, że w danym diagramie postuluje się istnienie wskazanego morfizmu. Jest to na tyle popularne, że w tekstach nie tłumaczy się rodzajów strzałek.
Sprawdzanie przemienności
Przemienność ma sens dla wieloboku dowolnej skończonej liczbie boków (włączając w to nawet 1 i 2), a diagram jest przemienny, jeżeli każdy poddiagram wieloboczny jest przemienny.
Dowodzenie
Popularną metodą dowodzenia, szczególnie w algebrze homologicznej, jest tzw. diagram chasing (ściganie [elementów] po diagramie). Dla danego diagramu przemiennego „dowód przez ściganie” polega na formalnym wykorzystaniu jego własności, takich jak iniektywność, czy suriektywność przekształceń albo ciągi dokładne. W wyniku tego postępowania konstruuje się sylogizm, dla którego graficzne przedstawienie w postaci diagramu jest tylko pomocą wzrokową. Nazwa ma swoje źródło w metodzie dowodzenia: „ściga” się elementy po całym diagramie, aż skonstruuje się upragniony element lub sprawdzi poprawność wyniku.