Równanie różniczkowe

Równanie różniczkowe – równanie określające zależność pomiędzy nieznaną funkcją (wielu zmiennych), a jej pochodnymi (cząstkowymi).

Rozwiązanie zwyczajnego równania różniczkowego polega na znalezieniu funkcji $y(x)$ takiej, która spełnia to równanie (tzn. przekształca je w tożsamość $0\equiv 0$). Na przykład równanie różniczkowe $y''+y=0$ ma ogólne rozwiązanie w postaci $y=A\cos {x}+B\sin {x},$ gdzie $A$ i $B$ są stałymi wyznaczanymi na podstawie warunków brzegowych.

Równania różniczkowe można podzielić na:

• równania różniczkowe zwyczajne – w których szukamy funkcji jednej zmiennej,
• równania różniczkowe cząstkowe – w których szukamy funkcji wielu zmiennych.

Istnieją metody rozwiązywania równań różniczkowych pewnych szczególnych typów, jednak wiele równań różniczkowych nie ma rozwiązań, które dałyby się wyrazić w postaci jawnej. W praktyce matematycznej często ważniejszą informacją od samej postaci rozwiązania jest informacja o jego istnieniu (gdyż nie każde równanie różniczkowe musi je mieć). W przypadku równań różniczkowych, o których wiadomo, że mają rozwiązanie, często (szczególnie w zastosowaniach) wystarczające jest znalezienie rozwiązania przybliżonego (np. stosując metodę aproksymacji). Obecnie prowadzi się wiele badań nad kolejnymi schematami rozwiązywania równań różniczkowych, gdyż mają one wiele zastosowań praktycznych. Przy wielu uniwersytetach powstają specjalne katedry równań różniczkowych zajmujące się praktycznie tylko szukaniem rozwiązań kolejnych przełomowych równań.

Oprogramowanie

Istnieje oprogramowanie, które może rozwiązać równania różniczkowe:

• Maple
• SageMath
• Xcas
• ExpressionsBar

Przykłady równań różniczkowych w różnych dziedzinach

• równania Cauchy’ego-Riemanna w analizie zespolonej
• równania Einsteina-Infelda-Hoffmanna
• równania Hamiltona w mechanice klasycznej
• równania Maxwella
• równania opisujące konwekcję swobodną w termodynamice
• równania opisujące zasady dynamiki Newtona
• równania związane z czasem połowicznego rozpadu izotopów w fizyce jądrowej
• równanie Einsteina w teorii względności
• równanie falowe
• równanie Naviera-Stokesa w mechanice płynów
• równanie Poissona-Boltzmanna
• równanie przewodnictwa cieplnego w termodynamice
• równanie Laplace’a opisujące harmoniki
• równanie Poissona
• równanie Schrödingera w mechanice kwantowej

Zobacz też

• metoda Eulera
• rachunek różniczkowy i całkowy
• równanie różniczkowe zupełne
• zagadnienie Cauchy’ego (zagadnienie początkowe)
• Hydrointegrator