Układ współrzędnych kartezjańskich: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie

[wersja przejrzana]

← poprzednia edycja następna edycja →

Usunięta treść Dodana treść

WizualnieWikikod

Jednokolumnowy

Wersja z 20:38, 3 paź 2021

Dwuwymiarowy układ współrzędnych kartezjańskich

Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych mający dwie prostopadłe osie. Pewne cechy takiego układu ma też znana od czasów starożytnych szachownica oraz pochodzące z XVI wieku odwzorowanie Mercatora.

Pochodzenie nazwy

Nazwa układu pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (René Descartes, franc. przymiotnik cartesien), który wprowadził tę ideę w 1637 w traktacie La Géométrie^[1]. Już wcześniej, w 1636 metody prostokątnego układu współrzędnych używał Pierre de Fermat, jednak tego nie opublikował, przez co pozostała nieznana. Kartezjusz opracował układ współrzędnych niezależnie, co wywołało spór o pierwszeństwo z Fermatem. Spór zakończył się ostatecznie pogodzeniem obu uczonych i wzajemnym uznaniem zasług^[2].

Definicja

Układem współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni n-wymiarowej nazywa się układ współrzędnych, w którym zadane są:

punkt zwany początkiem układu współrzędnych, którego wszystkie współrzędne są równe zeru, często oznaczany literą $O$ lub cyfrą $0.$
ciąg n parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami układu współrzędnych. Dwie pierwsze osie często oznaczane są jako:
- $X$ (pierwsza oś, zwana osią odciętych),
- $Y$ (druga, zwana osią rzędnych),

Liczba osi układu współrzędnych wyznacza wymiar przestrzeni.

Współrzędne

Aby wyznaczyć k-tą współrzędną zadanego punktu $P{:}$

Tworzymy rzut prostokątny punktu $P$ na k-tą oś, tzn. konstruujemy prostą przechodzącą przez $P$ i prostopadłą do k-tej osi, a następnie znajdujemy punkt przecięcia tej prostej z k-tą osią.
Współrzędna tego punktu przecięcia na k-tej osi jest k-tą współrzędną punktu $P.$

Trzy pierwsze współrzędne są często oznaczane jako:

$x$ – historyczna nazwa odcięta, łac. abscissa,
$y$ – historyczna nazwa rzędna, łac. ordinata,
$z$ – historyczna nazwa kota, łac. applicata.

Wzory w 2-wymiarowym układzie współrzędnych

Współrzędne środka odcinka AB oznaczonego literą C, kiedy ${\displaystyle A=({a},{b}}),$ ${\displaystyle B=({c},{d}})$

${\displaystyle C=({\tfrac {a+c}{2}},{\tfrac {b+d}{2}}})$

odległość punktu A od środka układu współrzędnych dla ${\displaystyle A=({a},{b}})$

$A={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Długość odcinka AB dla ${\displaystyle A=({a},{b}}),$ ${\displaystyle B=({c},{d}})$

$\left\vert AB\right\vert ={\sqrt {(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}}$ lub $\left\vert AB\right\vert ={\sqrt {(c-a)^{2}+(d-b)^{2}}}$

Ćwiartki i oktanty

Osie dwuwymiarowego układu kartezjańskiego dzielą płaszczyznę na cztery przystające, nieograniczone zbiory nazywane ćwiartkami; brzeg każdej z nich składa się z dwóch półosi^[3]. Często numeruje się je od pierwszej do czwartej i oznacza symbolami rzymskimi: I (+,+), II (–,+), III (–,–) oraz IV (+,–), gdzie znaki w nawiasach odpowiadają znakom danej współrzędnej. Przy zwyczajowym rysowaniu osi, numeracja rozpoczyna się od prawej-górnej ćwiartki („północno-wschodniej”) i postępuje przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Podobnie trójwymiarowy układ współrzędnych określa podział przestrzeni na osiem części zwanych oktantami^[4], zgodnie z ośmioma sposobami ułożenia dwóch znaków +,– na trzech miejscach. Oktant, którego wszystkie trzy współrzędne są dodatnie, nazywany bywa pierwszym, jednak nie ma ogólnie przyjętej numeracji pozostałych oktantów. Uogólnienie ćwiartki i oktantu na wyższe wymiary nazywane bywa ortantem^{[potrzebny przypis]}.

Skrętność przestrzeni trójwymiarowej

Kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej może być lewo- lub prawoskrętny. Terminy te są czysto umowne, gdyż nie sposób ściśle zdefiniować, jaki układ jest lewo- czy prawoskrętny, można jednak dla dwóch różnych układów sprawdzić, czy mają tę samą czy przeciwną skrętność.

Intuicyjnie prawoskrętny jest układ, w którym kiedy wnętrze obracającej się prawej dłoni zakreśla łuk od osi $OX$ do $OY,$ to kciuk ma zwrot zgodny ze zwrotem osi $OZ$ (tzw. reguła prawej dłoni Royberta albo reguła śruby prawoskrętnej). W ten sposób sprawdzamy, czy badany układ ma tę samą skrętność, co układ wyznaczony przez prawą rękę człowieka.

Zobacz też

Przypisy

↑ Discours de la méthode pour bien conduire sa raison, & chercher la verité dans les sciences: plus la dioptrique, les météores, et la géométrie, qui sont des essais de cete méthode. Lejda: Jan Maire, 1637.
↑ NeilN. Schlager NeilN., JoshJ. Lauer JoshJ. (red.), Science and Its Times. Understanding the Social Significance of Scientific Discovery, t. III. 1450-1699, Farmington Hills, MI: Gale Group, 2000, s. 242 .
↑ Nie jest to jednak podział na podzbiory rozłączne; takiego podziału na cztery części przystające nie da się dokonać, bowiem początek układu musiałby należeć do jednej tylko części.
↑ oktant, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-03] .

[1] Discours de la méthode pour bien conduire sa raison, & chercher la verité dans les sciences: plus la dioptrique, les météores, et la géométrie, qui sont des essais de cete méthode. Lejda: Jan Maire, 1637.

[2] NeilN. Schlager NeilN., JoshJ. Lauer JoshJ. (red.), Science and Its Times. Understanding the Social Significance of Scientific Discovery, t. III. 1450-1699, Farmington Hills, MI: Gale Group, 2000, s. 242 .

[3] Nie jest to jednak podział na podzbiory rozłączne; takiego podziału na cztery części przystające nie da się dokonać, bowiem początek układu musiałby należeć do jednej tylko części.

[epwn-4] oktant, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-03] .

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Linia 41: / Linia 41: @@
 Osie dwuwymiarowego układu kartezjańskiego dzielą płaszczyznę na cztery [[przystawanie (geometria)|przystające]], [[zbiór ograniczony|nieograniczone]] zbiory nazywane '''ćwiartkami'''; [[brzeg (matematyka)|brzeg]] każdej z nich składa się z dwóch półosi<ref>Nie jest to jednak podział na podzbiory rozłączne; takiego podziału na cztery części przystające nie da się dokonać, bowiem początek układu musiałby należeć do jednej tylko części.</ref>. Często numeruje się je od pierwszej do czwartej i oznacza [[rzymski system zapisywania liczb|symbolami rzymskimi]]: I (+,+), II (–,+), III (–,–) oraz IV (+,–), gdzie znaki w nawiasach odpowiadają znakom danej współrzędnej. Przy zwyczajowym rysowaniu osi, numeracja rozpoczyna się od prawej-górnej ćwiartki („północno-wschodniej”) i postępuje przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
-Podobnie trójwymiarowy układ współrzędnych określa podział przestrzeni na osiem części zwanych '''oktantami''', zgodnie z ośmioma sposobami ułożenia dwóch znaków +,– na trzech miejscach. Oktant, którego wszystkie trzy współrzędne są dodatnie, nazywany bywa ''pierwszym'', jednak nie ma ogólnie przyjętej numeracji pozostałych oktantów. Uogólnienie ćwiartki i oktantu na wyższe wymiary nazywane bywa '''ortantem'''.
+Podobnie trójwymiarowy układ współrzędnych określa podział przestrzeni na osiem części zwanych '''oktantami'''<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3950621 | tytuł = oktant | data dostępu = 2021-10-03 }}</ref>, zgodnie z ośmioma sposobami ułożenia dwóch znaków +,– na trzech miejscach. Oktant, którego wszystkie trzy współrzędne są dodatnie, nazywany bywa ''pierwszym'', jednak nie ma ogólnie przyjętej numeracji pozostałych oktantów. Uogólnienie ćwiartki i oktantu na wyższe wymiary nazywane bywa '''ortantem'''{{fakt|data=2021-10}}.
 == Skrętność przestrzeni trójwymiarowej ==