Wektor styczny

Linia styczna do krzywej w punkcie oznaczonym czerwoną kropką. Wszystkie wektory styczne do krzywej w tym punkcie leżą na tej prostej, tworząc przestrzeń styczną 1-wymiarową.

Płaszczyzna styczna do powierzchni sferycznej. Wszystkie wektory styczne do tej powierzchni w danym punkcie leżą na tej płaszczyźnie, tworząc przestrzeń styczną 2-wymiarową.

Wektor styczny to wektor o kierunku wyznaczonym przez styczną do:

• krzywej,
• powierzchni lub
• hiperpowierzchni
  

poprowadzoną w danym punkcie przestrzeni euklidesowej w ogólności n-wymiarowej. Wektory styczne w sposób analityczny opisuje geometria różniczkowa.

W ogólniejszym kontekście wektory styczne są elementami przestrzeni stycznej, jaką można zdefiniować dla każdego punktu rozmaitości różniczkowej (euklidesowej, pseudoeuklidesowej, riemannowskiej, pseudoriemannowskiej).

• Dla linii krzywej wektory te należą do prostej stycznej do tej krzywej w danym jej punkcie i tworzą przestrzeń styczną 1-wymiarową.
• Dla powierzchni 2D wektory te leżą na płaszczyźnie stycznej do tej powierzchni w danym jej punkcie i tworzą przestrzeń styczną 2-wymiarową.
• Dla hiperpowierzchni (N-1)-wymiarowej zanurzonej w przestrzeni euklidesowej N-wymiarowej, wektory styczne leżą na tej stycznej hiperpowierzchni euklidesowej (N-1)-wymiarowej i tworzą przestrzeń styczną (N-1)-wymiarową.

Wektory styczne do powierzchni 2D

(1) Dwuwymiarową powierzchnię $H$ można opisać za pomocą dwóch niezależnych od siebie parametrów $u,v$

${\begin{cases}{\begin{matrix}x=x(u,v)\\y=y(u,v)\\z=z(u,v)\end{matrix}}\end{cases}},\qquad {\vec {r}}(x,y,z)={\vec {r}}(u,v).$

Parametry te określają siatkę współrzędnych krzywoliniowych na powierzchni $H.$

(2) Istnieją dwa szczególne wektory styczne ${\vec {s}}_{u}$ oraz ${\vec {s}}_{v}$ do powierzchni $H$ – są to wektory styczne odpowiednio do krzywych $v={\text{const}}=v_{0}$ oraz $u={\text{const}}=u_{0},$ przecinających się punkcie $P$ o wektorze wodzącym ${\vec {r}}(u_{0},v_{0}).$

Współrzędne wektorów ${\vec {s}}_{u},{\vec {s}}_{v}$ oblicza się jako pochodne funkcji $x,y,z$ względem parametrów $u$ oraz $v{:}$

${\vec {s}}_{u}=\left[{\frac {\partial x}{\partial u}},{\frac {\partial y}{\partial u}},{\frac {\partial z}{\partial u}}\right]_{u=u_{0},v=v_{0}},$

${\vec {s}}_{v}=\left[{\frac {\partial x}{\partial v}},{\frac {\partial y}{\partial v}},{\frac {\partial z}{\partial v}}\right]_{u=u_{0},v=v_{0}},$

gdzie $u_{0},v_{0}$ to wartości parametrów $u,v$ wyznaczające punkt $P(x_{0},y_{0},z_{0}),$ czyli:

${\begin{cases}{\begin{matrix}x_{0}=x(u_{0},v_{0})\\y_{0}=y(u_{0},v_{0})\\z_{0}=z(u_{0},v_{0})\end{matrix}}\end{cases}}.$

(3) W skrócie wektory te można zapisać następująco:

${\vec {s}}_{u}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u}}{\Big |}_{u=u_{0},v=v_{0}},$

${\vec {s}}_{v}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial v}}{\Big |}_{u=u_{0},v=v_{0}},$

gdzie ${\vec {r}}(u,v)={\vec {r}}[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]$ jest wektorem wodzącym punktu $P$ na powierzchni $H.$

(4) Dowolny wektor styczny ${\vec {s}}$ do powierzchni $H$ w jej punkcie $P(x_{0},y_{0},z_{0})$ wyraża się w postaci pewnej kombinacji liniowej wektorów stycznych ${\vec {s}}_{u}$ oraz ${\vec {s}}_{v},$ tj.

${\vec {s}}=a_{u}{\vec {s}}_{u}+a_{v}{\vec {s}}_{v}.$

Wektory ${\vec {s}}_{u}$ oraz ${\vec {s}}_{v}$ stanowią więc bazę płaszczyzny stycznej do powierzchni danej równaniem

${\vec {R}}={\vec {r}}(u_{0},v_{0})+a_{u}{\vec {s}}_{u}+a_{v}{\vec {s}}_{v}.$

Przykład: Wektory styczne do sfery

Dla sfery o promieniu $r$ można wprowadzić parametryzację za pomocą kątów $\phi ,\theta$ współrzędnych sferycznych.

(1) Współrzędne kartezjańskie $x,y,z$ są wyrażone przez współrzędne sferyczne wzorami

$x=r\,\sin \theta \,\cos \phi ,$

$y=r\,\sin \theta \,\sin \phi ,$

$z=r\,\cos \theta .$

(2) Wektory styczne mają postać:

${\begin{aligned}{\vec {s}}_{\theta }&={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \theta }}=\left[{\frac {\partial x}{\partial \theta }},{\frac {\partial y}{\partial \theta }},{\frac {\partial z}{\partial \theta }}\right]\\[2px]&=[r\cos \theta \cos \phi ,r\cos \theta \sin \phi ,-r\sin \theta ],\\[1em]{\vec {s}}_{\phi }&={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \phi }}=\left[{\frac {\partial x}{\partial \phi }},{\frac {\partial y}{\partial \phi }},{\frac {\partial z}{\partial \phi }}\right]\\[2px]&=[-r\sin \theta \sin \phi ,r\sin \theta \cos \phi ,0].\end{aligned}}$

(3) Dowolny wektor styczny do sfery w punkcie $P(\theta ,\phi )$ wyraża się w postaci kombinacji liniowej wektorów stycznych ${\vec {s}}_{\theta }$ oraz ${\vec {s}}_{\phi },$ tj.

${\vec {s}}(\theta ,\phi )=a_{\theta }{\vec {s}}_{\theta }+a_{\phi }{\vec {s}}_{\phi }.$

Np. dla $\theta =\pi /2,$ $\phi =0$ mamy punkt $P(x_{0},y_{0},z_{0})=[r,0,0]$ leżący na osi $x$ układu współrzędnych oraz wektory bazowe styczne

${\vec {s}}_{\theta }=[0,0,-r],$

${\vec {s}}_{\phi }=[0,r,0]$

i wektory styczne mają postać

${\vec {s}}=a_{\theta }{\vec {s}}_{\theta }+a_{\phi }{\vec {s}}_{\phi }=a_{\theta }[0,0,-r]+a_{\phi }[0,r,0].$

(4) Wektory te wyznaczają płaszczyznę styczną do sfery o promieniu $r$ w punkcie $\theta =\pi /2,$ $\phi =0$ i równaniu

${\vec {R}}=P(x_{0},y_{0},z_{0})+a_{\theta }{\vec {s}}_{\theta }+a_{\phi }{\vec {s}}_{\phi }=r[1,a_{\phi },-a_{\theta }].$

Widać, że płaszczyzna ta ma stałą współrzędną $x$-ową równą 1 i jest równoległa do płaszczyzny pionowej $yz.$

Wektor styczny do krzywej w $R^{3}$

Krzywą w przestrzeni $R^{3}$ można opisać za pomocą jednego parametru $u$

${\begin{cases}{\begin{matrix}x=x(u)\\y=y(u)\\z=z(u)\end{matrix}}\end{cases}}.$

(Analogiczne zależności są słuszne dla krzywej w przestrzeni n-wymiarowej).

Parametr $u$ wyznacza linię współrzędnej krzywoliniowej w przestrzeni $R^{3}.$ Wektor styczny ${\vec {s}}_{u}$ do krzywej w danym punkcie $P(x_{0},y_{0},z_{0})$ otrzymuje się, obliczając pochodne funkcji $x,y,z$ względem parametru $u{:}$

${\vec {s}}_{u}=\left[{\frac {\partial x}{\partial u}},{\frac {\partial y}{\partial u}},{\frac {\partial z}{\partial u}}\right]_{u=u_{0}},$

gdzie $u_{0}$ to wartości parametru $u$ wyznaczające punkt $P(x_{0},y_{0},z_{0}),$ czyli:

${\begin{cases}{\begin{matrix}x_{0}=x(u_{0})\\y_{0}=y(u_{0})\\z_{0}=z(u_{0})\end{matrix}}\end{cases}}.$

W skrócie wektor styczny można zapisać następująco:

${\vec {s}}_{u}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u}}{\Big |}_{u=u_{0}},$

gdzie ${\vec {r}}(u)=(x(u),y(u),z(u))$ jest wektorem wodzącym punktu $P$ krzywej.

Wektor ten wyznacza prostą styczną do krzywej w punkcie $P(x_{0},y_{0},z_{0})$ o równaniu

${\vec {R}}=P(x_{0},y_{0},z_{0})+a_{u}{\vec {s}}_{u}.$

Przykład: Wektor styczny do krzywej w $R^{3}$

Krzywa w przestrzeni $R^{3}$ dana jest równaniem parametrycznym

${\vec {r}}(u)=[1+u^{2},e^{2u},\cos {u}],$ $u\in R,$

Wektor styczny o długości jednostkowej dla $u=0$ ma postać ${\vec {s}}(0)=\left.{\frac {\frac {d{\vec {r}}}{du}}{|{\frac {d{\vec {r}}}{du}}|}}\right|_{u=0}=\left.{\frac {[2u,2e^{2u},\ -\sin {u}]}{\sqrt {4u^{2}+4e^{4u}+\sin ^{2}{u}}}}\right|_{u=0}=[0,1,0].$

Wektor ten wyznacza kierunek prostej stycznej do krzywej w punkcie ${\vec {r}}(x_{0},y_{0},z_{0})=[1,1,1]$ o równaniu

${\vec {R}}={\vec {r}}(x_{0},y_{0},z_{0})+a_{u}{\vec {s}}_{u}=[1,1,1]+a_{u}[0,1,0].$

Wektor styczny do krzywej w przestrzeni $R^{n}$

Współrzędne kartezjańskie

(1) Jeżeli w przestrzeni $R^{n}$ dany jest układ współrzędnych kartezjańskich, to krzywa może być zadana za pomocą równania parametrycznego ${\vec {r}}(u)$

${\vec {r}}(u)=[x^{1}(u),x^{2}(u),\dots ,x^{n}(u)],$ ${}\quad a\leqslant u\leqslant b.$

(2) Współrzędne $T^{i}$ wektora stycznego do krzywej wyznacza się, licząc pochodne współrzędnych wektora wodzącego krzywej po parametrze $u$

$T^{i}={\frac {dx^{i}}{du}}.$

Współrzędne krzywoliniowe

W układzie współrzędnych krzywoliniowych

$q^{i}=q^{i}(x^{1},x^{2},\dots ,x^{n}),\quad i=1,\dots ,n$

mamy wzory analogiczne jak w układzie kartezjańskim:

(1) krzywa jest zadana równaniem parametrycznym

$q^{i}=q^{i}(u).$

(2) wektor styczny $T^{\,'i}$ oblicza się, licząc pochodną współrzędnych $q^{i}$ parametrze

$T^{\,'i}={\frac {dq^{i}}{dt}},$

przy tym należy pamiętać, iż współrzędne powyższe ma wektor w tzw. bazie naturalnej (por. współrzędne krzywoliniowe).

Dowód:

Wektor styczny jest wektorem kontrawariantnym (jako iloraz różniczki współrzędnych przez różniczkę parametru, który jest niezmiennikiem transformacji współrzędnych). Wektor kontrawariantny przy przejściu z jednego układu (tu kartezjańskiego) na inny (tu krzywoliniowy) transformuje się wg prawa

$T^{\,'i}={\frac {\partial q^{i}}{\partial x^{s}}}T^{s}.$

Podstawiając $T^{s}={\frac {dx^{s}}{du}},$ otrzymamy

$T^{\,'i}={\frac {\partial q^{i}}{\partial x^{s}}}{\frac {dx^{s}}{du}}.$

Jednocześnie wiadomo, że zachodzi zależność między różniczkami w starym i nowym układzie

${\frac {dq^{i}}{dt}}={\frac {\partial q^{i}}{\partial x^{s}}}{\frac {dx^{s}}{dt}}.$

Porównując dwa ostatnie wzory, widać, że musi zachodzić $T^{\,'i}={\frac {dq^{i}}{dt}},$ cnd.

Zobacz też

• linia geodezyjna
• przestrzeń styczna
• styczna
• wektor normalny

Bibliografia

• Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009.
• Tadeusz Trajdos, Matematyka, cz. III, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2012, s. 254–261.

Literatura dodatkowa

• David Kay: Schaums Outline of Theory and Problems of Tensor Calculus. New York: McGraw-Hill, 1988.brak strony w książce