Funkcje cyklometryczne

Funkcje cyklometryczne, funkcje kołowe, arkfunkcje – funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów.

Funkcje trygonometryczne rozpatrywane na tych przedziałach są różnowartościowe i mają funkcje odwrotne. Tak więc:

• arcus sinus (arcsin) jest funkcją odwrotną do funkcji sinus rozpatrywanej na przedziale $\left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right].$ W przedziale tym sinus jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale $\left[-1;1\right]$ (czyli obrazie przedziału $\left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]$ przez funkcję $\sin$).
• arcus cosinus (arccos) jest funkcją odwrotną do funkcji cosinus rozpatrywanej na przedziale $\left[0,\pi \right].$ W przedziale tym cosinus jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale $\left[-1;1\right]$ (czyli obrazie przedziału $\left[0,\pi \right]$ przez funkcję $\cos$).
• arcus tangens (arctg) jest funkcją odwrotną do funkcji tangens rozpatrywanej na przedziale $\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right).$ W przedziale tym tangens jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona w zbiorze $\mathbb {R}$ (czyli obrazie przedziału $\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)$ przez funkcję $\operatorname {tg}$).
• arcus cotangens (arcctg) jest funkcją odwrotną do funkcji cotangens rozpatrywanej na przedziale $\left(0,\pi \right).$ W przedziale tym cotangens jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona w zbiorze $\mathbb {R}$ (czyli obrazie przedziału $\left(0,\pi \right)$ przez funkcję $\operatorname {ctg}$).
• arcus secans (arcsec) jest funkcją odwrotną do funkcji secans rozpatrywanej na przedziale $\left[0,\pi \right].$ W przedziale tym secans jest funkcją rosnącą w każdym z przedziałów (zatem różnowartościową): $\left[0,{\tfrac {\pi }{2}}\right),$ $\left({\tfrac {\pi }{2}},\pi \right],$ wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale $\left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,+\infty \right)$ (czyli obrazie przedziału $\left[0,\pi \right]$ przez funkcję $\sec$).
• arcus cosecans (arccsc) jest funkcją odwrotną do funkcji cosecans rozpatrywanej na przedziale $\left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right].$ W przedziale tym cosecans jest funkcją malejącą w każdym z przedziałów (zatem różnowartościową): $\left[-{\tfrac {\pi }{2}},0\right),$ $\left(0,{\tfrac {\pi }{2}}\right],$ wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale $\left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,+\infty \right)$ (czyli obrazie przedziału $\left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]$ przez funkcję $\operatorname {cosec}$).

Zgodnie z określeniem funkcji odwrotnej:

• $\arcsin \ x=y\qquad {}$ gdy ${}\quad \sin \ y=x$
• $\arccos \ x=y\qquad {}$ gdy ${}\quad \cos \ y=x$
• $\operatorname {arctg} \ x=y\qquad \;\,{}$ gdy ${}\quad \operatorname {tg} \ y=x$
• $\operatorname {arcctg} \ x=y\qquad {}$ gdy ${}\quad \operatorname {ctg} \ y=x$
• $\operatorname {arcsec} \ x=y\qquad {}$ gdy ${}\quad \sec \ y=x$
• $\operatorname {arccosec} \ x=y\quad {}$ gdy ${}\quad \operatorname {cosec} \ y=x$

Jak w przypadku funkcji trygonometrycznych nawiasów wokół argumentów możemy nie stawiać, chyba że prowadziłoby to do niejednoznaczności.

Własności funkcji wynikają natychmiast z twierdzeń o funkcjach odwrotnych. Wszystkie z nich są ciągłe i różniczkowalne.

• arcus sinus jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest $\left[-1,1\right],$ a przeciwdziedziną $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right].$
• arcus cosinus jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest $\left[-1,1\right],$ a przeciwdziedziną $\left[0,\pi \right].$
• arcus tangens jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest $\mathbb {R} ,$ a przeciwdziedziną $\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right).$
• arcus cotangens jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest $\mathbb {R} ,$ a przeciwdziedziną $\left(0,\pi \right).$
• arcus secans jest funkcją rosnącą w każdym z przedziałów: $\left(-\infty ,-1\right],$ $\left[1,+\infty \right).$ Jej dziedziną jest $\left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,+\infty \right),$ a przeciwdziedziną $\left[0,\pi \right]\setminus \{{\frac {\pi }{2}}\}.$
• arcus cosecans jest funkcją malejącą w każdym z przedziałów: $\left(-\infty ,-1\right],$ $\left[1,+\infty \right).$ Jej dziedziną jest $\left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,+\infty \right),$ a przeciwdziedziną $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\setminus \{0\}.$

Zależności między funkcjami cyklometrycznymi

$\arcsin \ x+\arccos \ x={\frac {\pi }{2}}\quad {\text{dla }}\ x\in [-1;1]$

$\operatorname {arctg} \ x+\operatorname {arcctg} \ x={\frac {\pi }{2}}\quad {\text{dla }}\ x\in \mathbb {R}$

$\operatorname {arcsec} \ x+\operatorname {arccosec} \ x={\frac {\pi }{2}}$

Argumenty ujemne

$\arcsin \ (-x)=-\arcsin \ x$

$\arccos \ (-x)=\pi -\arccos \ x$

$\operatorname {arctg} \ (-x)=-\operatorname {arctg} \ x$

$\operatorname {arcctg} \ (-x)=\pi -\operatorname {arcctg} \ x$

$\operatorname {arcsec} \ (-x)=\pi -\operatorname {arcsec} \ x$

$\operatorname {arccosec} \ (-x)=-\operatorname {arccosec} \ x$

Odwrotności argumentów

$\arcsin \ {\frac {1}{x}}=\operatorname {arccosec} \ x$

$\arccos \ {\frac {1}{x}}=\operatorname {arcsec} \ x$

$\operatorname {arctg} \ {\frac {1}{x}}=\operatorname {arcctg} \ x\ ;\ x>0$

$\operatorname {arctg} \ {\frac {1}{x}}=\operatorname {arcctg} \ x-\pi \ ;\ x<0$

$\operatorname {arcctg} \ {\frac {1}{x}}=\operatorname {arctg} \ x\ ;\ x>0$

$\operatorname {arcctg} \ {\frac {1}{x}}=\operatorname {arctg} \ x+\pi \ ;\ x<0$

$\operatorname {arcsec} \ {\frac {1}{x}}=\arccos \ x$

$\operatorname {arccosec} \ {\frac {1}{x}}=\arcsin \ x$

Pochodne i całki

Pochodne

• $\arcsin 'x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
• $\arccos 'x={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
• $\operatorname {arctg} 'x={\frac {1}{x^{2}+1}}$
• $\operatorname {arcctg} 'x={\frac {-1}{x^{2}+1}}$

Całki

• $\int \arcsin xdx={\sqrt {1-x^{2}}}+x\arcsin x+C$
• $\int \arcsin xdx=x\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C$
• $\int \operatorname {arctg} xdx=x\operatorname {arctg} x-{\frac {1}{2}}\log {(1+x^{2})}+C$
• $\int \operatorname {arcctg} xdx=x\operatorname {arcctg} x+{\frac {1}{2}}\log {(1+x^{2})}+C$

Przykłady

• $\arcsin \;0=0$
• $\arcsin \;{\frac {1}{2}}={\frac {\pi }{6}}$
• $\arcsin \;1={\frac {\pi }{2}}$
• $\arccos \;0={\frac {\pi }{2}}$
• $\arccos \;{\frac {1}{2}}={\frac {\pi }{3}}$
• $\arccos \;(-1)=\pi$
• $\operatorname {arctg} \;0=0$
• $\operatorname {arctg} \;1={\frac {\pi }{4}}$
• $\operatorname {arcctg} \;0={\frac {\pi }{2}}$
• $\operatorname {arcctg} \;1={\frac {\pi }{4}}$

Oto wykresy kolejnych funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych, które parami są symetryczne względem prostej $y=x{:}$

• 
  Funkcje: $y=\sin(x),$
  $y=\arcsin(x)$
• 
  Funkcje:$y=\cos(x),$
  $y=\arccos(x)$
• 
  Funkcje:$y=\operatorname {tg} (x),$
  $y=\operatorname {arctg} (x)$
• 
  Funkcje:$y=\operatorname {ctg} (x),$
  $y=\operatorname {arcctg} (x)$