Relacja zwrotna: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana]

Usunięta treść Dodana treść

Jednokolumnowy

Wersja z 16:59, 4 kwi 2022

Relacja zwrotna – relacja, w której każdy element zbioru jest w relacji sam z sobą^[1].

Formalnie: relację dwuczłonową $\varrho \subseteq X\times X$ nazywa się zwrotną, gdy

\forall _{x\in X}\;(x\ \varrho \ x).

Relacja przeciwzwrotna – relacja, w której żaden element zbioru nie jest w relacji sam z sobą.

Formalnie: relację dwuczłonową $\varrho \subseteq X\times X$ nazywa się przeciwzwrotną, gdy

\forall _{x\in X}\ \lnot (x\ \varrho \ x).

Relacje zwrotne:

Każda relacja równoważności i każdy częściowy porządek, szerzej: każdy praporządek
Przecinanie się zbiorów niepustych
Przemienność (komutacja) funkcji w danym zbiorze (działań jednoargumentowych) lub macierzy kwadratowych
liniowa zależność wektorów

Relacje przeciwzwrotne:

Relacje ani zwrotne, ani przeciwzwrotne:

Biorąc relację $\varrho$ określoną na zbiorze liczb naturalnych następująco: $n\ \varrho \ m$ wtedy i tylko wtedy, gdy $n+m+1$ jest liczbą pierwszą. Relacja $\varrho$ nie jest zwrotna i nie jest przeciwzwrotna, ponieważ przykładowo $\lnot (10\ \varrho \ 10)$ (co dowodzi, że nie jest zwrotna, ponieważ $10+10+1=21=3\cdot 7$ ) oraz $2\ \varrho \ 2$ (nie jest przeciwzwrotna, ponieważ $2+2+1=5$ ).

Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005, s. 155. ISBN 83-01-14415-7.

@@ Linia 25: / Linia 25: @@
 Relacje ani zwrotne, ani przeciwzwrotne:
-* Biorąc relację <math>\varrho</math> określoną na zbiorze [[liczby naturalne|liczb naturalnych]] następująco: <math>n \ \varrho\ m</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>n+m+1</math> jest [[liczba pierwsza|liczbą pierwszą]]. Relacja <math>\varrho</math> nie jest zwrotna i nie jest przeciwzwrotna, ponieważ przykładowo <math>\lnot(10 \ \varrho\ 10)</math> (co dowodzi, że nie jest zwrotna, ponieważ <math>10+10+1 = 21 = 7\cdot 3</math>) oraz <math>2 \ \varrho\ 2</math> (nie jest przeciwzwrotna, ponieważ <math>2+2+1 = 5</math>).
+* Biorąc relację <math>\varrho</math> określoną na zbiorze [[liczby naturalne|liczb naturalnych]] następująco: <math>n \ \varrho\ m</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>n+m+1</math> jest [[liczba pierwsza|liczbą pierwszą]]. Relacja <math>\varrho</math> nie jest zwrotna i nie jest przeciwzwrotna, ponieważ przykładowo <math>\lnot(10 \ \varrho\ 10)</math> (co dowodzi, że nie jest zwrotna, ponieważ <math>10+10+1 = 21 = 3\cdot 7</math>) oraz <math>2 \ \varrho\ 2</math> (nie jest przeciwzwrotna, ponieważ <math>2+2+1 = 5</math>).
 == Zobacz też ==