Liczby względnie pierwsze: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie

[wersja przejrzana]

← poprzednia edycja następna edycja →

Usunięta treść Dodana treść

WizualnieWikikod

Jednokolumnowy

Wersja z 11:59, 13 lip 2022

Liczby względnie pierwsze – liczby całkowite, których największym wspólnym dzielnikiem jest jeden^[1].

Jeżeli liczby $a,b$ są względnie pierwsze zapisuje się to symbolicznie jako $a\perp b$ lub ${\mbox{NWD}}(a,b)=1$ ^[2].

Liczby parami względnie pierwsze – liczby całkowite, wśród których każde dwie różne są względnie pierwsze.

Fakt, że liczby $a,b,c,...d$ są parami względnie pierwsze, zapisuje się symbolicznie ${\mbox{NWD}}(a,b,c,\dots ,d)=1.$

Szybkim sposobem określenia, czy dwie liczby są względnie pierwsze jest algorytm Euklidesa^[3]. Funkcja Eulera dodatniej liczby całkowitej $n$ jest liczbą liczb naturalnych między 1 a $n,$ które są względnie pierwsze z $n$ ^[2].

Przykłady

Liczby 6 i 35 są względnie pierwsze, ale 6 i 27 nie są, gdyż obie są podzielne przez 3.
Liczba 1 jest względnie pierwsza z każdą liczbą całkowitą.
Liczby 10, 12 i 15 są względnie pierwsze, ale nie są parami względnie pierwsze (najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb wynosi 60, a nie 10·12·15 = 1800).

Własności

Jeżeli dwie liczby są względnie pierwsze, to ich najmniejsza wspólna wielokrotność równa jest ich iloczynowi. Twierdzenie to nie uogólnia się na większą liczbę czynników, co pokazuje przykład: ${\mbox{NWD}}(4,6,9)=1,{\mbox{NWW}}(4,6,9)=36,\ 4\cdot 6\cdot 9=216.$

Na to, aby liczby $a,b$ były względnie pierwsze, potrzeba i wystarcza, aby istniały liczby całkowite $x$ i $y$ spełniające równanie

ax+by=1.

Ogólniej:
Na to, aby liczby $a_{1},...,a_{n}$ były względnie pierwsze, potrzeba i wystarcza, aby istniały liczby całkowite $k_{1},...,k_{n}$ spełniające równanie

k_{1}a_{1}+...+k_{n}a_{n}=1

^[4].

Uogólnienie

W pierścieniu przemiennym z jedynką $R$ ideały $I$ i $J$ nazywamy względnie pierwszymi, jeśli ich suma algebraiczna $I+J$ jest całym pierścieniem^[4].

W dziedzinach ideałów głównych można przyjąć następującą definicję elementów względnie pierwszych: $a$ i $b$ są względnie pierwsze jeśli z faktu, że pewien element $d$ dzieli $a$ i dzieli $b$ wynika, że $d$ jest odwracalny. Jest ona równoważna temu, że ideały generowane przez te elementy są względnie pierwsze. W pierścieniach niebędących dziedzinami ideałów głównych te pojęcia nie muszą się pokrywać^{[potrzebny przypis]}.

Liczby względnie pierwsze generują ideały względnie pierwsze w $\mathbb {Z}$ (bo $\mathbb {Z}$ jest dziedziną ideałów głównych)^{[potrzebny przypis]}.

Zobacz też

Przypisy

↑ liczby względnie pierwsze, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-08] .
↑ ^a ^b AdamA. Neugebauer AdamA., Matematyka olimpijska. 1, Algebra i teoria liczb, wyd. 1, Kraków: Wydawnictwo Szkolne OMEGA, 2018, s. 23, 146, ISBN 978-83-7267-710-5, OCLC 1055646686 [dostęp 2022-07-13] .
↑ Tom M.T.M. Apostol Tom M.T.M., Introduction to analytic number theory, New York 2010, s. 19-21, ISBN 978-1-4757-5579-4, OCLC 861705475 [dostęp 2022-07-13] .
↑ ^a ^b WładysławW. Narkiewicz WładysławW., Teoria liczb, wyd. 3, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2003, s. 20-21, 29-31, 335, ISBN 83-01-14015-1, OCLC 749285993 [dostęp 2022-07-13] .

[epwn-1] liczby względnie pierwsze, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-08] .

[:0-2] AdamA. Neugebauer AdamA., Matematyka olimpijska. 1, Algebra i teoria liczb, wyd. 1, Kraków: Wydawnictwo Szkolne OMEGA, 2018, s. 23, 146, ISBN 978-83-7267-710-5, OCLC 1055646686 [dostęp 2022-07-13] .

[3] Tom M.T.M. Apostol Tom M.T.M., Introduction to analytic number theory, New York 2010, s. 19-21, ISBN 978-1-4757-5579-4, OCLC 861705475 [dostęp 2022-07-13] .

[:1-4] WładysławW. Narkiewicz WładysławW., Teoria liczb, wyd. 3, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2003, s. 20-21, 29-31, 335, ISBN 83-01-14015-1, OCLC 749285993 [dostęp 2022-07-13] .

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
 '''Liczby względnie pierwsze''' – [[liczby całkowite]], których [[największy wspólny dzielnik|największym wspólnym dzielnikiem]] jest jeden<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3932380 | tytuł = liczby względnie pierwsze | data dostępu = 2021-10-08 }}</ref>.
+Jeżeli liczby <math>a,b</math> są względnie pierwsze zapisuje się to symbolicznie jako <math>a \perp b</math> lub <math>\mbox{NWD}(a,b)=1</math><ref name=":0">{{Cytuj |autor = Adam Neugebauer |tytuł = Matematyka olimpijska. 1, Algebra i teoria liczb |data = 2018 |data dostępu = 2022-07-13 |isbn = 978-83-7267-710-5 |wydanie = 1 |miejsce = Kraków |wydawca = Wydawnictwo Szkolne OMEGA |s = 23, 146 |oclc = 1055646686}}</ref>.
 '''Liczby parami względnie pierwsze''' – liczby całkowite, wśród których każde dwie różne są względnie pierwsze.
-Fakt, że liczby <math>a,b,c,...d</math> są względnie pierwsze, zapisuje się symbolicznie <math>\mbox{NWD}(a,b,c,\dots,d)=1.</math>
+Fakt, że liczby <math>a,b,c,...d</math> są parami względnie pierwsze, zapisuje się symbolicznie <math>\mbox{NWD}(a,b,c,\dots,d)=1.</math>
-Szybkim sposobem określenia, czy dwie liczby są względnie pierwsze jest [[algorytm Euklidesa]]. [[funkcja φ|Funkcja Eulera]] dodatniej liczby całkowitej <math>n</math> jest liczbą [[Liczby naturalne|liczb naturalnych]] między 1 a <math>n,</math> które są względnie pierwsze z <math>n.</math>
+Szybkim sposobem określenia, czy dwie liczby są względnie pierwsze jest [[algorytm Euklidesa]]<ref>{{Cytuj |autor = Tom M. Apostol |tytuł = Introduction to analytic number theory |data = 2010 |data dostępu = 2022-07-13 |isbn = 978-1-4757-5579-4 |miejsce = New York |s = 19-21 |oclc = 861705475}}</ref>. [[funkcja φ|Funkcja Eulera]] dodatniej liczby całkowitej <math>n</math> jest liczbą [[Liczby naturalne|liczb naturalnych]] między 1 a <math>n,</math> które są względnie pierwsze z <math>n</math><ref name=":0" />.
 == Przykłady ==
@@ Linia 20: / Linia 22: @@
 Ogólniej:<br />
 Na to, aby liczby <math>a_1,..., a_n</math> były względnie pierwsze, potrzeba i wystarcza, aby istniały liczby całkowite <math>k_1,..., k_n</math> spełniające równanie
+: <math>k_1 a_1 + ... + k_n a_n = 1</math><ref name=":1">{{Cytuj |autor = Władysław Narkiewicz |tytuł = Teoria liczb |data = 2003 |data dostępu = 2022-07-13 |isbn = 83-01-14015-1 |wydanie = 3 |miejsce = Warszawa |wydawca = Wydawnictwo Naukowe PWN |s = 20-21, 29-31, 335 |oclc = 749285993}}</ref>.
-: <math>k_1 a_1 + ... + k_n a_n = 1.</math>
 == Uogólnienie ==
-W [[pierścień (matematyka)|pierścieniu]] przemiennym z jedynką <math>R</math> [[Ideał (teoria pierścieni)|ideały]] <math>I</math> i <math>J</math> nazywamy względnie pierwszymi, jeśli ich suma algebraiczna <math>I + J</math> jest całym pierścieniem.
+W [[pierścień (matematyka)|pierścieniu]] przemiennym z jedynką <math>R</math> [[Ideał (teoria pierścieni)|ideały]] <math>I</math> i <math>J</math> nazywamy względnie pierwszymi, jeśli ich suma algebraiczna <math>I + J</math> jest całym pierścieniem<ref name=":1" />.
-W [[Pierścień ideałów głównych|dziedzinach ideałów głównych]] można przyjąć następującą definicję elementów względnie pierwszych: <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze jeśli z faktu, że pewien element <math>d</math> dzieli <math>a</math> i dzieli <math>b</math> wynika, że <math>d</math> jest odwracalny. Jest ona równoważna temu, że ideały generowane przez te elementy są względnie pierwsze. W pierścieniach niebędących dziedzinami ideałów głównych te pojęcia nie muszą się pokrywać.
+W [[Dziedzina ideałów głównych|dziedzinach ideałów głównych]] można przyjąć następującą definicję elementów względnie pierwszych: <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze jeśli z faktu, że pewien element <math>d</math> dzieli <math>a</math> i dzieli <math>b</math> wynika, że <math>d</math> jest odwracalny. Jest ona równoważna temu, że ideały generowane przez te elementy są względnie pierwsze. W pierścieniach niebędących dziedzinami ideałów głównych te pojęcia nie muszą się pokrywać{{Potrzebny przypis|data=2022-07}}.
-Liczby względnie pierwsze generują ideały względnie pierwsze w <math>\mathbb{Z}</math> (bo <math>\mathbb{Z}</math> jest dziedziną ideałów głównych).
+Liczby względnie pierwsze generują ideały względnie pierwsze w <math>\mathbb{Z}</math> (bo <math>\mathbb{Z}</math> jest dziedziną ideałów głównych){{Potrzebny przypis|data=2022-07}}.
 == Zobacz też ==