Następnik liczby porządkowej

Operacja następnika dla liczb porządkowych jest najbardziej podstawową operacją przeprowadzaną na liczbach porządkowych.

Operacja ta zdefiniowana jest następująco:

$S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}$

Następujące fakty są łatwe do udowodnienia:

1. Nie istnieje żadna liczba porządkowa pomiędzy $\alpha \,$ i $S(\alpha )\,$.

2. $\alpha <S(\alpha )\,$.

Liczba $S(\alpha )\,$ nazywana jest następnikiem $\alpha \,$.

Warto zauważyć, że $\alpha \in S\,(\alpha )$ i równocześnie $\alpha \subset S(\alpha )\,$. Pojęcie to wykorzystuje się do konstrukcji zbiorów induktywnych, a w konsekwecji np. w konstrukcji von Neumanna liczb naturalnych.

Przykłady

• $S(\{\emptyset \})=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\,$
• $S(\{\emptyset ,\{\emptyset \}\})=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}\,$

Zobacz też

• Graniczna liczba porządkowa.