Inwolucja (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie

[wersja nieprzejrzana]

← poprzednia edycja następna edycja →

Usunięta treść Dodana treść

WizualnieWikikod

Jednokolumnowy

Wersja z 00:44, 22 paź 2007

Definicja

Inwolucja – w matematyce to funkcja $f:X\rightarrow X$ , która jest funkcją odwrotną do samej siebie. Innymi słowy, dla dowolnego $x\;$ należącego do dziedziny funkcji $f\;$ zachodzi warunek $f(f(x))=x\;$ dla każdego $x\in X$ .

Ogólniej, w teorii kategorii morfizm $i:X\rightarrow X$ nazywamy inwolucją lub morfizmem inwolucyjnym, gdy $i\circ i=1_{X}$ .

Własności

Każda inwolucja jest bijekcją (każdy morfizm-inwolucja jest izomorfizmem).
n-krotne złożenie inwolucji dla parzystych n jest tożsamością:

f^{2\cdot k}(x)=x\;

dla dowolnego $x\;$ z dziedziny $f\;$ .

n-krotne złożenie inwolucji dla nieparzystych n jest jest tą samą funkcją:

f^{2\cdot k+1}(x)=f(x)\;

dla dowolnego $x\;$ z dziedziny $f\;$ .

Podobnie $i^{2\cdot n}=1_{X}$ oraz $i^{2\cdot n+1}=i$ dla dowolnego morfizmu inwolucyjnego $i:X\rightarrow X$ .

Przykłady

Trywialnym przykładem inwolucji jest przekształcenie tożsamościowe.
Involucją jest funkcja s : A × A → A × A, kwadratu kartezjańskiego zbioru A w siebie, dana wzorem:

s(x, y) := (y, x) dla każdego (x, y) ε A × A.

Zbiorem punktów stałych inwolucji s jest przekątną

Δ_A := { (x, x) : x ε A }.

Wiele inwolucji jest indukowanych przez inwolucję typu s, na przykład transpozycja macierzy (samo s jest z kolei indukowane przez transpozycję osi).

Zmiana znaku $f(x)=-x\;$ jest inwolucją w zbiorze liczb całkowitych (a także wymiernych, rzeczywistych, zespolonych ...)
Odwrotność $f(x)={1 \over x}$ jest inwolucją na zbiorze liczb rzeczywistych różnych od zera.
W geometrii inwolucjami są symetrie (osiowa, środkowa) oraz inwersja
W rachunku zbiorów inwolucją jest dopełnienie zbioru.
W rachunku zbiorów różnica symetryczna z ustalonym zbiorem. (bo $(A{\dot {-}}B){\dot {-}}B=A$ ). Warunek ten jest często wykorzystywany w informatyce.
W informatyce inwolucją jest szyfr Rot13.
W zbiorze liczb zespolonych (a także kwaternionów) inwolucją jest sprzężenie.
W algebrze boole'a inwolucją jest dopełnienie.
W rachunku macierzy inwolucjami są transpozycja, sprzężenie, sprzężenie hermitowskie.

Geometria

W geometrii euklidesowej inwolucjami są symetrie zwierciadlane, osiowe, środkowe, a także inwersja. Izometrie zwierciadlane zmieniają orietację przestrzeni. Izometria środkowa zmienia orientację nieparzystowymiarowej przestrzeni euklidesowej, ale zachowuje parzystowymiarowej.

Twierdzenie (Bourbaki). Każda izometria n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej jest złożeniem co najwyżej n+1 symetrii zwierciadlanych.

Złożenia parzystej liczby izometrii zwierciadlanych zachowują orientację przestrzeni euklidesowej, a nieparzystej liczby – zmieniają.

Inwolucje są obiektem głębikich badań między innymi w topologii rozmaitości; patrz na przykład ^[1].

Teoria grup

Inwolucją nazywamy element rzędu dwa (czasami dopuszcza się też element rzędu 1 czyli element neutralny).

Pojęcie to bierze się stąd, że zbiór wszystkich bijekcji ustalonego zbioru tworzy grupę. W grupie tej inwolucje to elementy rzędu 2 i 1.

Permutacja jest inwolucją wtedy i tylko wtedy, gdy w jej rozkładzie na cykle występują tylko cykle długości 1 i 2. W szczególności, transpozycja dwóch elementów jest inwolucją. Każda permutacja zbioru n-elementowego (n - liczba naturalna) jest złożeniem co najwyżej n-1 transpozycji, a więc inwolucji.

Grupy Coxetera są generowane przez inwolucje (t.j. przez elementy rzędu 2). ^[2]

↑ S.López de Medrano, Involutions on Manifolds, Springer-Verlag, 1971.
↑ Bourbaki. Groupes et Algèbres de Lie, Hermann, Paris, Rozdział 4.1.

Zobacz też

działanie grupy na zbiorze.

[1] S.López de Medrano, Involutions on Manifolds, Springer-Verlag, 1971.

[2] Bourbaki. Groupes et Algèbres de Lie, Hermann, Paris, Rozdział 4.1.

[1]

[2]

@@ Linia 18: / Linia 18: @@
 ==Przykłady==
 *Trywialnym przykładem inwolucji jest [[przekształcenie tożsamościowe]].
+*Involucją jest funkcja&nbsp; s : A × A → A × A,&nbsp; kwadratu kartezjańskiego zbioru A w siebie, dana wzorem:
+:::s(x, y) := (y, x) &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; dla każdego &nbsp; (x, y) ε A × A.
+Zbiorem [[punkt stały|punktów stałych]] inwolucji s jest przekątną
+:Δ<sub>A</sub> := { (x, x) : x ε A }.
+Wiele inwolucji jest indukowanych przez inwolucję typu&nbsp; s, &nbsp;na przykład transpozycja macierzy (samo&nbsp; s &nbsp; jest z kolei indukowane przez transpozycję osi).
 *Zmiana znaku <math>f(x)=-x\;</math> jest inwolucją w zbiorze liczb całkowitych (a także wymiernych, rzeczywistych, zespolonych ...)
 *Odwrotność <math>f(x)= {1\over x} </math> jest inwolucją na zbiorze liczb rzeczywistych różnych od zera.