Specjalna grupa unitarna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Specjalna grupa unitarna stopnia oznaczana symbolem jest grupą Liego specjalnych macierzy unitarnych o wyznaczniku równym 1. (Macierze unitarne mają w ogólności wyznacznik zespolony postaci czyli liczbą o module 1).

Istnieją różne reprezentacje danej grupy tworzone przez specjalne macierze unitarne tego samego wymiaru. Przy czym:

(1) Reprezentacja fundamentalna grupy składa się z macierzy wymiaru

(2) Inne reprezentacje grupy składają się z macierzy kwadratowych wymiaru mniejszego lub większego niż jednakże ich generatory muszą spełniać te same relacje komutacyjne, jak generatory reprezentacji fundamentalnej (dokładniej objaśniono to dalej).

Działaniem w grupie macierzy (dla danej reprezentacji) jest mnożenie macierzy przez siebie, elementem neutralnym mnożenia jest macierz jednostkowa (dla reprezentacji fundamentalnej jest to macierz ). Liczba parametrów opisująca macierze grupy – niezależnie od reprezentacji – wynosi Każdą specjalną macierz unitarną grupy dowolnego wymiaru można bowiem przedstawić za pomocą eksponenty zależnej od najwyżej parametrów

gdzie:

jest wymiarowym wektorem parametrów rzeczywistych,
jest wektorem liniowo niezależnych macierzy hermitowskich o śladzie równym zeru; macierze nazywa się generatorami grupy

przy czym wymiar generatorow macierzy wymiaru jest także równy

Grupę definiują związki komutacji (omówiono to dalej), jakie istnieją pomiędzy generatorami jej reprezentacji fundamentalnej. Przy tym związki komutacyjne np. dla grupy są inne niż dla itd. Generatory reprezentacji fundamentalnej danej grupy są macierzami wymiaru (dla innych reprezentacji generatory są macierzami o mniejszym lub większym wymiarze niż ). Ponadto, istnieje wiele możliwych wyborów generatorów dla każdej reprezentacji, dlatego zwykle dodatkowo przyjmuje się warunek normalizacji, określający ślady kwadratów generatorów:

Generatory algebry Liego su(n) grupy SU(n)[edytuj | edytuj kod]

Liczba generatorów[edytuj | edytuj kod]

Każda specjalna macierz unitarna wymiaru może być przedstawiona w postaci

gdzie:

macierz hermitowska wymiaru bezśladowa (tzn. jej ślad jest równy 0),
– jednostka urojona.

Ponadto, każdą macierz hermitowską bezśladową wymiaru można wyrazić za pomocą liniowo niezależnych, bezśladowych macierzy hermitowskich wymiaru tj.

gdzie nazwa się generatorami; generatory tworzą bazę algebry Liego

Dlaczego generatory są bezśladowe[edytuj | edytuj kod]

Macierze unitarne mają wyznacznik równy 1, co implikuje, że macierze muszą być bezśladowe, gdyż:

co implikuje

Związki komutacji. Stałe struktury[edytuj | edytuj kod]

Generatory są na ogół nieprzemienne – wyniki ich mnożenia tworzą tzw. reguły komutacji, tj. dla liczb komutatory są w postaci kombinacji liniowych

gdzie:

– komutator,
– tzw. stałe struktury grupy.

Relacje komutacji (lub równoważnie: stałe struktury) definiują algebrę Liego danej grupy

Wybór generatorów nie jest unikalny; np. z danego zbioru generatorów można otrzymać inny zbiór generatorów za pomocą transformacji podobieństwa, ponieważ transformacja ta nie zmienia komutatorów.

Przy czym macierz nazywa się podobną do macierzy jeżeli

gdzie jest macierz unitarną, zaś jest jej sprzężeniem hermitowskim.

Ponadto, te same reguły komutacji mogą spełniać macierze innego wymiaru niż dany wymiar Macierze te są generatorami reprezentacji niefundamentalnych tej samej grupy

Reprezentacja fundamentalna grupy[edytuj | edytuj kod]

Grupę definiuje więc

  • postać generatorów reprezentacji fundamentalnej (zwanej także definiującą), tj. postać generatorów reprezentowanych przez macierze wymiaru albo
  • wartości numeryczne stałych struktury

Są to metody równoważne: znając jawną postać generatorów reprezentacji fundamentalnej można wyliczyć stałe struktury i odwrotnie, znając stałe struktury można obliczyć jawną postać generatorów nie tylko w reprezentacji fundamentalnej, ale w dowolnej reprezentacji grupy

Inne reprezentacje grupy SU(n)[edytuj | edytuj kod]

Inne reprezentacje grupy otrzymuje się za pomocą generatorów, które są macierzami wymiaru innego niż tj. wymiaru przy czym warunkiem jest, by generatory spełniały te same warunki komutacyjne co generatory reprezentacji fundamentalnej.

Np. grupa ma reprezentację fundamentalną zadaną przez macierze (macierze Pauliego, które mnożone przez definiują operatory spinu o liczbie spinowej ), jednak innymi reprezentacjami tej samej grupy są macierze wymiaru odpowiadające liczbom spinowym itd.

Grupa SU(n) jako podgrupa. Izomorfizmy[edytuj | edytuj kod]

Specjalna grupa unitarna jest podgrupą grupy macierzy unitarnych które zachowują iloczyn skalarny, definiowany w przestrzeniach zespolonych Grupa jest z kolei podgrupą ogólnej grupy transformacji liniowych określonej nad ciałem liczb zespolonych.

Grupa jest izomorficzna z grupą kwaternionów o normie 1 i dlatego dyfeomorficzna do 3-sfery. Ponieważ jednostkowe kwaterniony mogą reprezentować obroty w przestrzeni 3-wymiarowej (z dokładnością do znaku), to istnieje homeomorfizm z do grupy obrotów którego jądro jest Grupa jest także identyczna z grupą symetrii spinorów

Zastosowania grup SU(n)[edytuj | edytuj kod]

Grupy znalazły zastosowanie w sformułowaniu Modelu Standardowego cząstek elementarnych:

Topologia grupy SU(n)[edytuj | edytuj kod]

Specjalna grupa unitarna jest rzeczywistą grupą Liego, tj. jest grupą ciągłą i rozmaitością różniczkową o wartościach rzeczywistych, mającą wymiar Topologicznie jest to rozmaitość zwarta.

Grupa SU(1)[edytuj | edytuj kod]

Grupa przedstawia grupę trywialną, posiadającą jeden element – jest nim macierz jednostkowa

Grupa SU(2)[edytuj | edytuj kod]

Omawia to osobny artykuł Grupa SU(2).

Grupa SU(3)[edytuj | edytuj kod]

Topologia[edytuj | edytuj kod]

Grupa jest rozmaitość różniczkową wymiaru 8, jednospójną i zwartą; jako grupa jest grupą Liego.

Generatory algebry Liego su(3) reprezentacji fundamentalnej[edytuj | edytuj kod]

Algebra Liego związana z grupą Liego posiada generatorów Dla reprezentacji fundamentalnej generatory te mają postacie

gdzie są macierzami Gell-Mann’a (będącymi analogami macierzy Pauliego):

Macierze te rozpinają przestrzeń macierzy hermitowskich bezśladowych, która jest algebrą Liego su(3). Macierze mają elementy urojone.

Reguły komutacyjne/antykomutacyjne[edytuj | edytuj kod]

Powyższe generatory implikują

a) reguły komutacyjne

b) reguły antykomutacyjne

lub równoważnie

Stałe struktury[edytuj | edytuj kod]

Ze związków komutacyjnych wynika, że stałe struktury algebry zupełnie antysymetryczne, tzn. zmieniają znak przy przestawieniu dowolnych dwóch indeksów i mają wartości:

Pozostałe stałe o indeksach nie należących do powyższych permutacji zerują się. W ogólności stałe te zerują się, gdy zawierają nieparzystą liczbę indeksów ze zbioru {2, 5, 7}.

Symetryczne stałe[edytuj | edytuj kod]

Ze związków antykomutacyjnych wynika, że stałe są symetryczne ze względu na przestawienie dowolnych wskaźników i mają wartości:

Stałe zerują się, gdy liczba indeksów ze zbioru {2, 5, 7} jest nieparzysta.

Ślad kwadratów macierzy Gell-Manna[edytuj | edytuj kod]

Ślad kwadratów macierzy Gell-Manna wynosi 2, tj.

gdzie - delta Kronekera. Jest tak dlatego, że macierze Pauliego są „wbudowane” w macierze Gell Manna (możliwa byłaby normalizacja śladu do 1).

Normowanie generatorów[edytuj | edytuj kod]

Stąd wynika, że generatory są unormowane tak, że

Dowód (korzystamy z własności śladu):

Podalgebry algebry su(3)[edytuj | edytuj kod]

Istnieją trzy podalgebry su(2) algebry su(3)

  • oraz

Operatory Casimira – niezmienniki algebry su(3)[edytuj | edytuj kod]

Suma kwadratów macierzy Gell Manna jest tzw. operatorem Casimira, który jest jednym z niezmienników algebry su(3)

gdzie jest macierzą jednostkową 3×3.

Analogicznie definiuje się sześcienny operator Casimira, który też jest niezmiennikiem grupy.

Generowanie ogólnego elementu[edytuj | edytuj kod]

Ogólny element grupy SU(3) generowany przez bezśladową macierz hermitowską wymiaru 3×3, taką że można wyrazić za pomocą wielomianu 2-go rzędu macierzy

gdzie:

Zastosowania w chromodynamice kwantowej[edytuj | edytuj kod]

Macierz Gell-Manna służą do opisu symetrii kolorowej pola gluonowego, które powstaje z cechowania pola kwarkowego. Faza pola gluonowego musi mieć lokalną symetrię czasoprzestrzenną opisaną grupą SU(3), gdzie

Reprezentacja grupy. Reprezentacje wierne[edytuj | edytuj kod]

Grupa jest abstrakcyjnym zbiorem obiektów o określonych własnościach. Reprezentacją macierzową grupy nazywa się przekształcenie zachowujące strukturę grupową, czyli homomorfizm grupy w zbiór macierzy kwadratowych takie, że

gdzie oznacza działanie grupowe, a kropka mnożenie macierzy.

A więc zbiór macierzy tworzy grupę.

Reprezentację grupy G nazywa się wierną i równoważną, kiedy przekształcenie elementów grupy w zbiór macierzy jest izomorfizmem, czyli przekształceniem wzajemnie jednoznacznym. Wówczas reprezentacja ma następujące własności:

to znaczy:

  • element neutralny grupy przechodzi w macierz jednostkową,
  • element odwrotny do jest reprezentowany przez macierz odwrotną do

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Grupy transformacji

Pojęcia powiązane

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe, Quantum Mechanics 1, Wiley J., 2006, ​ISBN 978-0471569527​.
  • David J. Griffiths, Introduction to Elementary particles, Cambridge University Press 2008.
  • Thanu Padmanabhan, Quantum Field Theory: The Why, What and How, Springer, Heidelberg 2016.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]