Spektrum pierścienia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Spektrum pierścienia - dla danego pierścienia przemiennego z jednością A, zbiór Spec(A) złożony ze wszystkich ideałów pierwszych w A wraz z tzw. topologią Zariskiego, tj. topologią, w której rodziną zbiorów domkniętych jest

przy czym dla dowolnego podzbioru E pierścienia A symbol V(E) oznacza zbiór wszystkich ideałów pierwszych zawierających E.

Własności[edytuj]

  • Punkt w przestrzeni Spec(A) jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jest ideałem maksymalnym (nie może zawierać się w żadnym innym ideale pierwszym, a każdy ideał maksymalny jest pierwszy). Spektrum pierścienia nie jest więc (poza przypadkiem pierścienia trywialnego) przestrzenią T1, ani tym bardziej przestrzenią Hausdorffa.
  • Jeśli punkt x przestrzeni Spec(A) należy do domknięcia innego punktu y tej przestrzeni, to y jako zbiór jest zawarty w x (skoro x jest elementem V(y), to musi zawierać zbiór y).

Struktura zbiorów otwartych w topologii Zariskiego[edytuj]

Z definicji topologii Zariskiego wynika, że rodziną zbiorów otwartych w Spec (A) jest

,

Dla każdego elementu f pierścienia A niech D(f) oznacza dopełnienie w Spec(A) zbioru V({f}) (będące zbiorem otwartym). Zbiory D(f) składają się z tych wszystkich tych ideałów pierwszych pierścienia A, które nie zawierają elementu f. Ponadto,

  • zbiory D(f) tworzą bazę otoczeń otwartych topologii Zariskiego.
  • zbiór D(f) jest pusty wtedy i tylko wtedy, gdy element f jest nilpotentny.
  • zbiór D(f) jest równy Spec(A) wtedy i tylko wtedy, gdy element f jest jednością w pierścieniu A.
  • przestrzeń Spec(A) jest zwarta, a każdy zbiór D(f), jako domknięty podzbiór przestrzeni zwartej, jest podprzestrzenią zwartą przestrzeni Spec(A).
  • zbiór otwarty w Spec(A) jest podprzestrzenią zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy można go przedstawić w postaci sumy skończenie wielu zbiorów postaci D(f).

Spójność przestrzeni Spec(A)[edytuj]

Składowymi nieprzywiedlnymi przestrzeni Spec(A) są zbiory V({p}), gdzie p jest minimalnym ideałem pierwszym pierścienia A. Spec(A) jest przestrzenią nieprzywiedlną wtedy i tylko wtedy, gdy nilradykał pierścienia A jest ideałem pierwszym.

Spektrum jako schemat afiniczny[edytuj]

Na przestrzeni topologicznej Spec(A) można zdefiniować snop pierścieni . Mianowicie, dla określmy , lokalizacja pierścienia A w f. Ponieważ dla różnych , zbiory D(f) tworzą bazę topologii Spec(A), oraz dla , istnieje naturalne odwzorowanie , łatwo się przekonać, że to wystarczy do określenia wartości snopa na wszystkich otwartych podzbiorach Spec(A).

Przestrzeń Spec(A) wraz z tak określonym snopem nazywa się schematem afinicznym powiązanym z pierścieniem A. Schematy afiniczne są istotnym elementem konstrukcji ogólnych schematów -- odgrywają podobną rolę do otwartych podzbiorów w konstrukcji rozmaitości topologicznych bądź różniczkowych.

Przykłady[edytuj]

Pierścień liczb całkowitych jest pierścieniem ideałów głównych. Ideałami pierwszymi są w nim ideały postaci , gdzie jest liczbą pierwszą:

.

Niezerowe ideały pierwsze w tym pierścieniu są ideałami maksymalnymi, czyli każdy punkt przestrzeni jest domknięty (punkt domknięty nie jest). Ponadto, jeśli jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych, to do zbioru należą te i tylko te ideały pierwsze (ewentualnie , gdy ), dla których liczba dzieli każdą liczbę należącą do , tj.

.

W szczególności, każdy zbiór jest skończony.

Na odwrót, dla dowolnego skończonego zbioru liczb pierwszych jeśli jest ich iloczynem, to . Stąd wynika, że jedynymi zbiorami domkniętymi w są zbiory skończone i zbiór . Dwa zbiory otwarte w mają więc nieskończenie wiele punktów wspólnych, a sama przestrzeń jest nieprzywiedlna.

Bibliografia[edytuj]

  • M. F. Atiyah, I. G. Macdonald: Introduction to commutative algebra (tłum. ros.). Mir, 1972, s. 22, 23.