Sprzężenie zespolone

Sprzężenie zespolone – jednoargumentowe działanie algebraiczne określone na liczbach zespolonych polegające na zmianie znaku części urojonej danej liczby zespolonej.

Przykładowo

{\overline {3+2i}}=3-2i

{\overline {i}}=-i

{\overline {5}}=5

{\overline {-2-3i}}=-2+3i.

Definicja

Sprzężeniem liczby zespolonej w postaci algebraicznej $z=a+bi,$ gdzie $a,b\in \mathbb {R}$ jest liczba $a-bi$ nazywana liczbą sprzężoną do $z$ ^[1] i oznaczana zwykle symbolem ${\overline {z}}.$ W fizyce oraz naukach technicznych stosuje się również zapis $z^{\star }.$

W postaci biegunowej sprzężenie liczby $re^{i\phi }$ dane jest przez $re^{-i\phi }.$ Można to łatwo sprawdzić za pomocą wzoru Eulera.

Nazwę sprzężenia zespolonego prawdopodobnie wprowadził Augustin Louis Cauchy – używał jej (fr. conjuguées) w swoim Kursie analizy z 1821 roku^[2].

Uwagi

Liczby zespolone przedstawiane są często jako punkty płaszczyzny w układzie współrzędnych kartezjańskich (por. diagram). Oś $x$ -ów zawiera liczby rzeczywiste, zaś oś $y$ -ów zawiera liczby urojone. Przy takiej interpretacji sprzężenie zespolone odpowiada symetrii względem osi $x.$

Pary liczb sprzężonych są warte uwagi, ponieważ jednostka urojona $i$ jest jakościowo różna od swojej odwrotności addytywnej i multiplikatywnej $-i,$ jako że obie z nich spełniają definicję jednostki urojonej: $x^{2}=-1$ dla $x\in \mathbb {R} .$ Dlatego w najbardziej „naturalnych” okolicznościach, jeżeli liczba zespolona daje rozwiązanie problemu, to daje je również jej sprzężenie, jak to jest w przypadku rozwiązań zespolonych równania kwadratowego o współczynnikach rzeczywistych.

Sprzężenie zespolone jest jedynym oprócz identyczności ciągłym automorfizmem ciała liczb zespolonych, a przy tym działanie to jest inwolucją, czyli ${\overline {(z)}}=z.$ Zachowuje ono moduł oraz zmienia argument liczby zespolonej na przeciwny.

Własności

Niech $z,w$ będą liczbami zespolonymi, a $r$ będzie liczbą rzeczywistą. Wówczas

liczbą sprzężoną do liczby rzeczywistej $r$ jest ta sama liczba:
${\overline {r}}=r;$
liczbą sprzężoną do sumy liczb jest suma liczb sprzężonych:
${\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}};$
liczbą sprzężoną do iloczynu liczb jest iloczyn liczb sprzężonych:
${\overline {zw}}={\overline {z}}\;{\overline {w}};$
moduł liczby sprzężonej jest taki sam, jak moduł danej liczby:
$|{\overline {z}}|=|z|;$
jeden z argumentów liczby sprzężonej jest taki sam, jak argument danej liczby, ale z przeciwnym znakiem:
$\arg({\overline {z}})=-\arg(z);$
suma danej liczby zespolonej oraz liczby do niej sprzężonej jest liczbą rzeczywistą i wynosi:
$z+{\overline {z}}=2\operatorname {Re} \;z;$
iloczyn danej liczby i liczby do niej sprzężonej jest nieujemną liczbą rzeczywistą i wynosi:
$z{\overline {z}}=|z|^{2},$ stąd też $|z|={\sqrt {z{\overline {z}}}};$
jeżeli $z=ri,$ czyli jest liczbą urojoną, to liczba sprzężona jest liczbą przeciwną do danej:
${\overline {z}}=-z\Leftrightarrow z=ri,\quad -z=-ri={\overline {z}};$
jeśli $z$ jest pierwiastkiem danego wielomianu rzeczywistego, to ${\overline {z}}$ też nim jest.

Macierz sprzężona

Osobny artykuł: macierz sprzężona.

Macierz sprzężona (trywialnie) do danej to macierz, której każdy element jest liczbą sprzężoną do odpowiadającego mu elementu macierzy zespolonej:

\mathbf {A} =[a_{ij}]\mapsto {\overline {\mathbf {A} }}=[{\overline {a_{ij}}}]

Znacznie jednak ważniejszą operacją jest sprzężenie hermitowskie macierzy, tzn. sprzężenie złożone z transpozycją.

Przykład

\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}2+3i&1-2i&-1+2i\\0&-2&3+2i\\-i&2-i&2+i\end{bmatrix}}\mapsto {\overline {\mathbf {A} }}={\begin{bmatrix}2-3i&0&i\\1+2i&-2&2+i\\-1-2i&3-2i&2-i\end{bmatrix}}

Uogólnienia

Sprzężenie można uogólnić na kwaterniony: sprzężeniem kwaternionu $a+bi+cj+dk$ jest kwaternion $a-bi-cj-dk.$ Można także uogólnić je na przypadek dowolnego innego ciała kwadratowego, np. w ciele $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ można określić je wzorem $f(a+b{\sqrt {2}})=a-b{\sqrt {2}},$ a także na liczby dualne. Sprzęgać można również dwumiany. Sprzężenie we wszystkich podanych przypadkach ma dwie ważne własności: jest automorfizmem oraz inwolucją.