Sprzężenie zespolone

Sprzężenie zespolone – jednoargumentowe działanie algebraiczne określone na liczbach zespolonych polegające na zmianie znaku części urojonej danej liczby zespolonej.

Przykładowo

${\overline {3+2i}}=3-2i$$\overline{3 + 2i} = 3 - 2i$

${\overline {i}}=-i$$\overline{i} = -i$

${\overline {5}}=5$$\overline{5} = 5$

${\overline {-2-3i}}=-2+3i$$\overline{-2 - 3i} = -2 + 3i$

Definicja

Sprzężeniem liczby zespolonej w postaci algebraicznej $z=a+bi$$z=a+bi$, gdzie $a,b\in \mathbb {R}$$a,b\in {\mathbb R}$ jest liczba $a-bi$$a - bi$ nazywana liczbą sprzężoną do $z$$z$ i oznaczana zwykle symbolem ${\overline {z}}$$\overline z$. W fizyce oraz naukach technicznych stosuje się również zapis $z^{\star }$$z^\star$.

W postaci biegunowej sprzężenie liczby $re^{i\phi }$$r e^{i\phi}$ dane jest przez $re^{-i\phi }$$r e^{-i \phi}$. Można to łatwo sprawdzić za pomocą wzoru Eulera.

Uwagi

Geometryczna reprezentacja $z$$z$ i jego sprzężenia ${\overline {z}}$$\overline{z}$ na płaszczyźnie zespolonej.

Liczby zespolone przedstawiane są często jako punkty płaszczyzny w układzie współrzędnych kartezjańskich (por. diagram). Oś $x$$x$-ów zawiera liczby rzeczywiste, zaś oś $y$$y$-ów zawiera wielokrotności liczby $i$$i$. Przy takiej interpretacji sprzężenie zespolone odpowiada symetrii względem osi $x$$x$.

Pary liczb sprzężonych są warte uwagi, ponieważ jednostka urojona $i$$i$ jest jakościowo różna od swojej odwrotności addytywnej i multiplikatywnej $-i$$-i$, jako że obie z nich spełniają definicję jednostki urojonej: $x^{2}=-1$$x^{2}=-1$ dla $x\in \mathbb {R}$$x\in \mathbb {R}$. Dlatego w najbardziej „naturalnych” okolicznościach, jeżeli liczba zespolona daje rozwiązanie problemu, to daje je również jej sprzężenie, jak to jest w przypadku rozwiązań zespolonych równania kwadratowego o współczynnikach rzeczywistych.

Sprzężenie zespolone jest jedynym oprócz identyczności ciągłym automorfizmem ciała liczb zespolonych, a przy tym działanie to jest inwolucją, czyli ${\overline {({\overline {z}})}}=z$$\overline{({\overline z})} = z$. Zachowuje ono moduł oraz zmienia argument liczby zespolonej na przeciwny.

Własności

Niech $z,w$$z, w$ będą liczbami zespolonymi, a $r$$r$ będzie liczbą rzeczywistą. Wówczas

• ${\overline {r}}=r$$\overline r = r$.

• Liczbą sprzężoną do sumy liczb jest suma liczb sprzężonych:

  ${\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}$$\overline {z + w} = \overline z + \overline w$.

• Liczbą sprzężoną do iloczynu liczb jest iloczyn liczb sprzężonych:

  ${\overline {zw}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}$$\overline {z w} = {\overline z}\;{\overline w}$.

• Moduł liczby sprzężonej jest taki sam, jak moduł danej liczby:

  $|{\overline {z}}|=|z|$$|\overline z| = |z|$.

• Jeden z argumentów liczby sprzężonej jest taki sam, jak argument danej liczby, ale z przeciwnym znakiem:

  $\arg({\overline {z}})=-\arg(z)$$\arg({\overline z}) = -\arg(z)$

• Suma danej liczby zespolonej oraz liczby do niej sprzężonej jest liczbą rzeczywistą i wynosi:

  $z+{\overline {z}}=2\operatorname {Re} \;z$$z + \overline z = 2\operatorname{Re}\;z$.

• Iloczyn danej liczby i liczby do niej sprzężonej jest nieujemną liczbą rzeczywistą i wynosi:

  $z{\overline {z}}=|z|^{2}$$z \overline z = |z|^2$, stąd też $|z|={\sqrt {z{\overline {z}}}}$$|z| = \sqrt{z \overline z}$.

• Jeżeli $z=ri$$z = ri$, czyli jest liczbą urojoną, to liczba sprzężona jest liczbą przeciwną do danej:

  ${\overline {z}}=-z\Leftrightarrow z=ri,\quad -z=-ri={\overline {z}}$$\overline z = -z \Leftrightarrow z = ri, \quad -z = -ri = \overline z$

• Jeśli $z$$z$ jest pierwiastkiem danego wielomianu rzeczywistego, to ${\overline {z}}$$\overline z$ też nim jest.

Macierz sprzężona

Macierz sprzężona (trywialnie) do danej to macierz, której każdy element jest liczbą sprzężoną do odpowiadającego mu elementu macierzy zespolonej:

$\mathbf {A} =[a_{ij}]\mapsto {\overline {\mathbf {A} }}=[{\overline {a_{ij}}}]$$\mathbf A = [a_{ij}] \mapsto \overline \mathbf A = [\overline{a_{ij}}]$

Znacznie jednak ważniejszą operacją jest sprzężenie hermitowskie macierzy, tzn. sprzężenie złożone z transpozycją.

Przykład

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}2+3i&1-2i&-1+2i\\0&-2&3+2i\\-i&2-i&2+i\end{bmatrix}}\mapsto {\overline {\mathbf {A} }}={\begin{bmatrix}2-3i&1+2i&-1-2i\\0&-2&3-2i\\i&2+i&2-i\end{bmatrix}}$$\mathbf A = \begin{bmatrix} 2+3i & 1-2i & -1+2i \\ 0 & -2 & 3+2i \\ -i & 2-i & 2+i \end{bmatrix} \mapsto \overline \mathbf A = \begin{bmatrix} 2-3i & 1+2i & -1-2i \\ 0 & -2 & 3-2i \\ i & 2+i & 2-i \end{bmatrix}$

Uogólnienia

Sprzężenie można uogólnić na kwaterniony: sprzężeniem kwaternionu $a+bi+cj+dk$$a + bi + cj + dk$ jest kwaternion $a-bi-cj-dk$$a - bi - cj - dk$. Można także uogólnić je na przypadek dowolnego innego ciała kwadratowego, np. w ciele $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$$\mathbb{Q}(\sqrt 2)$ można określić je wzorem $f(a+b{\sqrt {2}})=a-b{\sqrt {2}}$$f(a + b \sqrt 2) = a - b \sqrt 2$, a także na liczby dualne. Sprzęgać można również dwumiany. Sprzężenie we wszystkich podanych przypadkach ma dwie ważne własności: jest automorfizmem oraz inwolucją.

Zobacz też

• liczby zespolone
• moduł liczby zespolonej
• argument liczby zespolonej