Sprzężenie zespolone

Geometryczna reprezentacja $z$ i jego sprzężenia ${\overline {z}}$ na płaszczyźnie zespolonej

Sprzężenie zespolone – jednoargumentowe działanie algebraiczne określone na liczbach zespolonych polegające na zmianie znaku części urojonej danej liczby zespolonej.

Przykładowo

${\overline {3+2i}}=3-2i$

${\overline {i}}=-i$

${\overline {5}}=5$

${\overline {-2-3i}}=-2+3i.$

Definicja

Sprzężeniem liczby zespolonej w postaci algebraicznej $z=a+bi,$ gdzie $a,b\in \mathbb {R}$ jest liczba $a-bi$ nazywana liczbą sprzężoną do $z$ i oznaczana zwykle symbolem ${\overline {z}}.$ W fizyce oraz naukach technicznych stosuje się również zapis $z^{\star }.$

W postaci biegunowej sprzężenie liczby $re^{i\phi }$ dane jest przez $re^{-i\phi }.$ Można to łatwo sprawdzić za pomocą wzoru Eulera.

Nazwę sprzężenia zespolonego prawdopodobnie wprowadził Augustin Louis Cauchy – używał jej (fr. conjuguées) w swoim Kursie analizy z 1821 roku.

Uwagi

Liczby zespolone przedstawiane są często jako punkty płaszczyzny w układzie współrzędnych kartezjańskich (por. diagram). Oś $x$-ów zawiera liczby rzeczywiste, zaś oś $y$-ów zawiera liczby urojone. Przy takiej interpretacji sprzężenie zespolone odpowiada symetrii względem osi $x.$

Pary liczb sprzężonych są warte uwagi, ponieważ jednostka urojona $i$ jest jakościowo różna od swojej odwrotności addytywnej i multiplikatywnej $-i,$ jako że obie z nich spełniają definicję jednostki urojonej: $x^{2}=-1$ dla $x\in \mathbb {R} .$ Dlatego w najbardziej „naturalnych” okolicznościach, jeżeli liczba zespolona daje rozwiązanie problemu, to daje je również jej sprzężenie, jak to jest w przypadku rozwiązań zespolonych równania kwadratowego o współczynnikach rzeczywistych.

Sprzężenie zespolone jest jedynym oprócz identyczności ciągłym automorfizmem ciała liczb zespolonych, a przy tym działanie to jest inwolucją, czyli ${\overline {(z)}}=z.$ Zachowuje ono moduł oraz zmienia argument liczby zespolonej na przeciwny.

Własności

Niech $z,w$ będą liczbami zespolonymi, a $r$ będzie liczbą rzeczywistą. Wówczas

• liczbą sprzężoną do liczby rzeczywistej $a$ jest ta sama liczba:

  ${\overline {r}}=r;$

• liczbą sprzężoną do sumy liczb jest suma liczb sprzężonych:

  ${\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}};$

• liczbą sprzężoną do iloczynu liczb jest iloczyn liczb sprzężonych:

  ${\overline {zw}}={\overline {z}}\;{\overline {w}};$

• moduł liczby sprzężonej jest taki sam, jak moduł danej liczby:

  $|{\overline {z}}|=|z|;$

• jeden z argumentów liczby sprzężonej jest taki sam, jak argument danej liczby, ale z przeciwnym znakiem:

  $\arg({\overline {z}})=-\arg(z);$

• suma danej liczby zespolonej oraz liczby do niej sprzężonej jest liczbą rzeczywistą i wynosi:

  $z+{\overline {z}}=2\operatorname {Re} \;z;$

• iloczyn danej liczby i liczby do niej sprzężonej jest nieujemną liczbą rzeczywistą i wynosi:

  $z{\overline {z}}=|z|^{2},$ stąd też $|z|={\sqrt {z{\overline {z}}}};$

• jeżeli $z=ri,$ czyli jest liczbą urojoną, to liczba sprzężona jest liczbą przeciwną do danej:

  ${\overline {z}}=-z\Leftrightarrow z=ri,\quad -z=-ri={\overline {z}};$

• jeśli $z$ jest pierwiastkiem danego wielomianu rzeczywistego, to ${\overline {z}}$ też nim jest.

Macierz sprzężona

Macierz sprzężona (trywialnie) do danej to macierz, której każdy element jest liczbą sprzężoną do odpowiadającego mu elementu macierzy zespolonej:

$\mathbf {A} =[a_{ij}]\mapsto {\overline {\mathbf {A} }}=[{\overline {a_{ij}}}]$

Znacznie jednak ważniejszą operacją jest sprzężenie hermitowskie macierzy, tzn. sprzężenie złożone z transpozycją.

Przykład

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}2+3i&1-2i&-1+2i\\0&-2&3+2i\\-i&2-i&2+i\end{bmatrix}}\mapsto {\overline {\mathbf {A} }}={\begin{bmatrix}2-3i&1+2i&-1-2i\\0&-2&3-2i\\i&2+i&2-i\end{bmatrix}}$

Uogólnienia

Sprzężenie można uogólnić na kwaterniony: sprzężeniem kwaternionu $a+bi+cj+dk$ jest kwaternion $a-bi-cj-dk.$ Można także uogólnić je na przypadek dowolnego innego ciała kwadratowego, np. w ciele $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ można określić je wzorem $f(a+b{\sqrt {2}})=a-b{\sqrt {2}},$ a także na liczby dualne. Sprzęgać można również dwumiany. Sprzężenie we wszystkich podanych przypadkach ma dwie ważne własności: jest automorfizmem oraz inwolucją.

Zobacz też

• argument liczby zespolonej
• liczby zespolone
• moduł liczby zespolonej