Sprzężenie zespolone

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Sprzężenie zespolonejednoargumentowe działanie algebraiczne określone na liczbach zespolonych polegające na zmianie znaku części urojonej danej liczby zespolonej.

Przykładowo

Definicja[edytuj]

Sprzężeniem liczby zespolonej w postaci algebraicznej , gdzie jest liczba nazywana liczbą sprzężoną do i oznaczana zwykle symbolem . W fizyce oraz naukach technicznych stosuje się również zapis .

W postaci biegunowej sprzężenie liczby dane jest przez . Można to łatwo sprawdzić za pomocą wzoru Eulera.

Uwagi[edytuj]

Geometryczna reprezentacja i jego sprzężenia na płaszczyźnie zespolonej.

Liczby zespolone przedstawiane są często jako punkty płaszczyzny w układzie współrzędnych kartezjańskich (por. diagram). Oś -ów zawiera liczby rzeczywiste, zaś oś -ów zawiera wielokrotności liczby . Przy takiej interpretacji sprzężenie zespolone odpowiada symetrii względem osi .

Pary liczb sprzężonych są warte uwagi, ponieważ jednostka urojona jest jakościowo różna od swojej odwrotności addytywnej i multiplikatywnej , jako że obie z nich spełniają definicję jednostki urojonej: dla . Dlatego w najbardziej „naturalnych” okolicznościach, jeżeli liczba zespolona daje rozwiązanie problemu, to daje je również jej sprzężenie, jak to jest w przypadku rozwiązań zespolonych równania kwadratowego o współczynnikach rzeczywistych.

Sprzężenie zespolone jest jedynym oprócz identyczności ciągłym automorfizmem ciała liczb zespolonych, a przy tym działanie to jest inwolucją, czyli . Zachowuje ono moduł oraz zmienia argument liczby zespolonej na przeciwny.

Własności[edytuj]

Niech będą liczbami zespolonymi, a będzie liczbą rzeczywistą. Wówczas

  • .
  • Liczbą sprzężoną do sumy liczb jest suma liczb sprzężonych:
    .
  • Liczbą sprzężoną do iloczynu liczb jest iloczyn liczb sprzężonych:
    .
  • Moduł liczby sprzężonej jest taki sam, jak moduł danej liczby:
    .
  • Jeden z argumentów liczby sprzężonej jest taki sam, jak argument danej liczby, ale z przeciwnym znakiem:
  • Suma danej liczby zespolonej oraz liczby do niej sprzężonej jest liczbą rzeczywistą i wynosi:
    .
  • Iloczyn danej liczby i liczby do niej sprzężonej jest nieujemną liczbą rzeczywistą i wynosi:
    , stąd też .
  • Jeżeli , czyli jest liczbą urojoną, to liczba sprzężona jest liczbą przeciwną do danej:
  • Jeśli jest pierwiastkiem danego wielomianu rzeczywistego, to też nim jest.

Macierz sprzężona[edytuj]

 Osobny artykuł: macierz sprzężona.

Macierz sprzężona (trywialnie) do danej to macierz, której każdy element jest liczbą sprzężoną do odpowiadającego mu elementu macierzy zespolonej:

Znacznie jednak ważniejszą operacją jest sprzężenie hermitowskie macierzy, tzn. sprzężenie złożone z transpozycją.

Przykład[edytuj]

Uogólnienia[edytuj]

Sprzężenie można uogólnić na kwaterniony: sprzężeniem kwaternionu jest kwaternion . Można także uogólnić je na przypadek dowolnego innego ciała kwadratowego, np. w ciele można określić je wzorem , a także na liczby dualne. Sprzęgać można również dwumiany. Sprzężenie we wszystkich podanych przypadkach ma dwie ważne własności: jest automorfizmem oraz inwolucją.

Zobacz też[edytuj]