Stała Feigenbauma

Stała Feigenbauma δ opisuje zbieżność bifurkacji ciągu $x_{n+1}=\mu f(x_{n})$ i pochodzi od nazwiska jej odkrywcy Mitchella Feigenbauma. Została odkryta w 1978 roku.

Rozpatrzmy ciąg iteracji pewnej funkcji $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mnożonej każdorazowo przez stałą $\mu {:}$

$x_{n+1}=\mu f(x_{n}).$

Dla niektórych wartości $x_{0}$ przy ustalonym $\mu$ ciąg ten posiada granicę. Okazuje się, że dla wielu funkcji $f$ liczba takich skończonych granic rośnie skokowo wraz ze wzrostem $\mu$ (występują tzw. bifurkacje). Oznaczmy przez $\mu _{n}$ rosnący ciąg wartości $\mu$ dla których zwiększyła się liczba granic ciągu $x_{n}.$

Okazuje się, że istnieje wtedy granica ciągu

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\mu _{n+1}-\mu _{n}}{\mu _{n+2}-\mu _{n+1}}}.$

Feigenbaum ze zdumieniem odkrył, że granica ta jest identyczna dla szerokiej klasy funkcji i równa $\delta =4{,}66920160910299067185320383\dots$ (ciąg A006890 w OEIS)

Zbieżność bifurkacji dla odwzorowania logistycznego $x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})$

Stała ta jest uniwersalna i pojawia się w wielu różnych sytuacjach w otaczającym nas świecie np.: w przepływach turbulentnych, oscylacjach w rezonatorach kwarcowych, reakcjach chemicznych, czy w zbiorach fraktalnych.

Stała Feigenbauma występuje we wszystkich funkcjach ściśle wklęsłych na pewnym przedziale A z jednym maksimum w tym przedziale, odwzorowujących ten przedział w siebie. Ponieważ wiele zjawisk przyrodniczych jest opisanych takimi funkcjami, stąd popularność stałej w przyrodzie.

Na wykresie obok przedstawiono atraktory dla różnych wartości parametru. Istnieje nigdziegęsty podzbiór parametrów $\mu ,$ dla których atraktor odwzorowania staje się chaotyczny. Podzbiór ten poprzecinany jest przedziałami parametru $\mu$ (np. $\mu \in (3{,}8284;3{,}8495)$), dla których wraz ze wzrostem wartości dochodzi do kolejnych bifurkacji podwojeń okresu, aż do granicy w której znajduje się atraktor chaotyczny. Jest to tzw. przejście do chaosu poprzez kaskadę bifurkacji podwojeń okresu.