Stała Kaprekara

Stała Kaprekara wynosi 6174 i ma właściwość, którą odkrył hinduski matematyk Dattathreya Ramachandra Kaprekar w 1949 roku.

Kaprekar zaproponował algorytm:

1. Niech liczbą badaną będzie dowolna liczba czterocyfrowa, w której przynajmniej dwie cyfry są różne.
2. Utwórz nową liczbę czterocyfrową układając cyfry liczby badanej w porządku malejącym.
3. Utwórz nową liczbę czterocyfrową układając cyfry liczby badanej w porządku rosnącym.
4. Odejmij liczbę z punktu 3 od liczby z punktu 2. Ta różnica niech będzie nową liczbą badaną.
5. Wróć do punktu 2.

Najpóźniej po 7 iteracjach badaną liczbą staje się 6174 i nie zmienia się ona, ponieważ 7641 - 1467 = 6174.

Przykład wyznaczenia stałej

Obliczmy stałą Kaprekara, rozpoczynając od liczby 4527.

1. 7542 - 2457 = 5085
2. 8550 - 0558 = 7992
3. 9972 - 2799 = 7173
4. 7731 - 1377 = 6354
5. 6543 - 3456 = 3087
6. 8730 - 0378 = 8352
7. 8532 - 2358 = 6174
8. 7641 - 1467 = 6174
9. 7641 - 1467 = 6174

Liczby dwu-, trzy-, pięciocyfrowe itd.

Wśród liczb trzycyfrowych istnieje liczba o podobnej właściwości, wynosi ona 495. Zastosowanie algorytmu dla liczb sześciocyfrowych prowadzi do jednej z dwóch liczb: 549945 lub 631764. Z kolei w przypadku liczb dwucyfrowych zawsze wpadnie się w cykl 09→81→63→27→45→09, a w przypadku pięciocyfrowych w jeden z trzech cyklów.

Liczba cyfr	Powtarzająca się liczba badana po dostatecznie wielu iteracjach
2	cykl
3	495
4	6174
5	cykl
6	549945 lub 631764
7	cykl
8	63317664 lub 97508421
9	554999445 lub 864197532
10	6333176664, 9753086421 lub 9975084201

Bibliografia

• Yutaka Nishiyama: Mysterious number 6174. Plus magazine, 2006-03-01. [dostęp 2013-10-09]. (ang.).