Stała Meissela-Mertensa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Stała Meissela-Mertensa to stała matematyczna, która wykorzystywana jest głównie w teorii liczb. Zdefiniowana jest jako granica różnicy sumy szeregu harmonicznego ograniczonego do liczb pierwszych i logarytmu naturalnego z logarytmu naturalnego:

M = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 
\sum_{p \leqslant n} \frac{1}{p}  - \ln(\ln(n)) \right)=\gamma + \sum_{p} \left[ \ln \left( 1 - \frac{1}{p} \right) + \frac{1}{p} \right]

gdzie γ jest stałą Eulera, której definicja jest podobna, z tą różnicą, iż suma brana jest po wszystkich liczbach naturalnych (nie tylko pierwszych).

Fakt użycia podwójnego logarytmu można traktować jako konsekwencję twierdzenia o liczbach pierwszych i definicji stałej Eulera.

Przybliżona wartość stałej wynosi:

M ≈ 0,261497212847642783755426838608695859...

Stała ta bywa nazywana stałą Mertensa. W literaturze spotyka się także określenia stała Kroneckera i stała Hadamarda-de la Vallée-Poussina.

Wykres sumy harmonicznej po liczbach pierwszych do n=2^{15}, 2^{16}, \ldots, 2^{46}=7.04\times 10^{13} i przybliżenia Mertensa.