Stateczność konstrukcji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Stateczność konstrukcji i jej elementów jest to taka ich właściwość, która polega na zachowywaniu przez nie trwałej równowagi statycznej pod działaniem obciążenia zewnętrznego[1][2][3]. Elementy konstrukcji (pręty, tarcze, powłoki) tracą stateczność wtedy, kiedy ich obciążenia przekroczą tzw. wartości krytyczne[4][5]. Utrata stateczności elementu konstrukcji jest zazwyczaj równoznaczna z utratą stateczności całej konstrukcji. Zjawiskiem z tej dziedziny badanym najwcześniej przez Leonharda Eulera (jeszcze w wieku XVIII), było tzw. wyboczenie prętów ściskanych w kratownicach statycznie wyznaczalnych, mostów stalowych. Na skutek braku wiedzy z tej dziedziny, wystąpił cały szereg katastrof mostów stalowych.

Konstrukcja zachowująca stateczność pod działaniem obciążenia zewnętrznego ma tę istotną własność, że wychylona z położenia trwałej równowagi statycznej wraca samorzutnie do tego samego położenia. Temu powrotowi zazwyczaj towarzyszą jej swobodne drgania tłumione o podstawowej (najniższej) częstości drgań własnych. Częstość ta maleje wraz ze wzrostem obciążenia i przybiera wartość zerową, gdy to obciążenie osiąga wartość krytyczną. Dotychczasowy, przedkrytyczny stan trwałej równowagi statycznej staje się obojętny co powoduje, że pojawia się bardzo bliski, sąsiedni, pokrytyczny stan niestatecznej równowagi układu. Ten stan sąsiedni charakteryzuje się tym, że pojawiają się, szybko narastające, dodatkowe przemieszczenia jakościowo różne od dotychczasowych i prowadzące do powstania stref zniszczenia materiału konstrukcyjnego. Pojawienie się tej jakościowo nowej formy równowagi nazywane jest jej bifurkacją.

Najprostszym i najczęściej występującym przypadkiem utraty stateczności jest eulerowskie wyboczenie pręta o osi idealnie prostoliniowej, poddanego czystemu ściskaniu osiowemu. Takie ściskanie może być wywołane dwójką sił skupionych, przyłożonych na przeciwległych jego końcach i działających idealnie wzdłuż jego osi. Utrata stateczności polega w tym przypadku na przejściu pręta w jego pokrytyczny stan giętny (zgięciowy) w płaszczyźnie prostopadłej do tej osi przekroju, względem której jego główny centralny moment bezwładności jest najmniejszy.

Równie często występuje utrata stateczności przez zwichrzenie, podczas zginania w płaszczyźnie pionowej, belek o przekrojach zbliżonych do postaci wąskich pionowych prostokątów. W przedkrytycznym stanie równowagi, pod wpływem działającego obciążenia, oś ugiętej belki leży dokładnie w płaszczyźnie pionowej i opisana jest równaniem Bifurkacja polega w tym przypadku na pojawieniu się dwu wzajemnie sprzężonych przemieszczeń:

  • ugięcia w płaszczyźnie poziomej oraz
  • kąta obrotu (zwichrzenia) przekroju względem osi

Belka podlegająca, w stanie przedkrytycznym, płaskiemu zginaniu względem osi (tzn. w płaszczyźnie zaczyna, w stanie pokrytycznym, dodatkowo wyginać się względem osi (tzn. w płaszczyźnie i zaczyna stawać się wichrowata, czemu towarzyszy obrót jej przekrojów wkoło osi wywołany skręcaniem belki. Istota tego zwichrowania polega na tym, że płaszczyzna przekształca się w pewną powierzchnię prostokreślną zawierającą odkształconą oś belki zwichrzonej.

Analiza stateczności polega na poszukiwaniu sąsiedniego stanu równowagi, tego który pojawia się w momencie utraty stateczności. To poszukiwanie sprowadza się do badania niezerowych rozwiązań odpowiednich równań różniczkowych.

Wyboczenie pręta ściskanego osiowo[edytuj | edytuj kod]

Pokrytyczny stan równowagi pręta pryzmatycznego opisuje równanie[6]

gdzie

  • - linia ugięcia pręta wyboczonego (forma utraty stateczności),
  • - mniejsza ze sztywności przekroju na zginanie,
  • - długość pręta,
  • - siła ściskająca pręt,
  • - bezwymiarowa odległość.

Równanie to ma dwa rozwiązania

  • - opisujące prostoliniowy stan przedkrytyczny pręta i
  • - opisujące jego nieskończenie bliski stan krytyczny.

Stałe wyznacza się na podstawie warunków podparcia pręta. I tak na przykład dla pręta podpartego przegubowo na obu końcach otrzymuje się oraz Na podstawie tego równania jest

Najniższa, niezerowa wartość obciążenia krytycznego określona jest przez skąd

Stan krytyczny (formę utraty stateczności) opisuje funkcja

Występująca w powyższych wzorach wielkość jest mniejszym z dwóch głównych centralnych momentów bezwładności poprzecznego przekroju pręta. Określa ona płaszczyznę, w której następuje wyboczenie (forma utraty stateczności).

Na podkreślenie zasługuje fakt, że w opisanym przypadku bifurkacja stanu równowagi następuje od zerowego stanu przedkrytycznego co w istotny sposób upraszcza obliczenia.

Zwichrzenie belki płasko zginanej[edytuj | edytuj kod]

W tym przypadku sytuacja jest trochę bardziej złożona[7]. Celem jej uproszczenia rozważymy tylko przypadek szczególny obciążenia belki pryzmatycznej ( dwójką momentów działających na jej końcach, w płaszczyźnie pionowej Linia ugięcia stanu przedkrytycznego opisana jest równaniem Pokrytyczny stan przemieszczenia powstaje w wyniku bifurkacji stanu przedkrytycznego i pojawieniu się dwu nowych przemieszczeń (ugięcia w płaszczyźnie i obrotu względem osi opisanych przez równania

Różniczkując i eliminując otrzymuje się równanie dla wyznaczenia kąta obrotu przekroju

Rozwiązanie równania ma postać

Krytyczną wartość obciążenia można obliczyć na podstawie konkretnych warunków podparcia. I tak na przykład dla belki widełkowo podpartej jest skąd wynika warunek dla obciążenia krytycznego

Najniższa wartość krytyczna obciążenia wynosi

Formę utraty stateczności opisują funkcje

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Timoshenko S.P., Gere J.M., Teoria stateczności sprężystej, Arkady Warszawa, 1963
  2. Bielajew N.M., Wytrzymałość materiałów, Wydawnictwo MON Warszawa 1954, rozdz. część IX
  3. Piechnik S., Wytrzymałość materiałów, PWN Warszawa 1980, str. 304
  4. Naleszkiewicz J., Zagadnienia stateczności sprężystej, PWN Warszawa 1958, str. 10, 19, 29, 38, 49, 50, 57, 61, 76
  5. Kurowski R., Parszewski Z., Zbiór zadań z wytrzymałości materiałów, PWN Warszawa 1962, str. 457
  6. Olszowski B., Radwańska M., Mechanika Budowli, Politechnika Krakowska Kraków 2010, str. 188
  7. jak w p. 4, str. 224