Stożek (analiza funkcjonalna)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Stożek – uogólnienie pojęcia stożka (nieograniczonego) znanego ze stereometrii na przestrzenie liniowo-topologiczne (najczęściej przestrzenie Banacha). Stożek w przestrzeni unormowanej jest szczególnym przypadkiem tzw. klinu. Kliny / stożki wyznaczają w pewien naturalny sposób praporządek / porządek w przestrzeni, przez co znajdują zastosowanie w teorii równań różniczkowych w przestrzeniach Banacha.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

W niniejszym artykule oznaczać będzie zawsze rzeczywistą przestrzeń liniowo-topologiczną.

Niepusty zbiór domknięty nazywamy klinem (w przestrzeni ), gdy dla każdych oraz

oraz

Ponadto, klin nazywamy stożkiem, gdy spełniony jest warunek

Przestrzenie liniowo-topologiczne uporządkowane przez stożki[edytuj | edytuj kod]

Jeśli jest klinem w przestrzeni to relacja dana warunkiem

jest praporządkiem. Ponadto, jest porządkiem częściowym wtedy i tylko wtedy, gdy jest stożkiem. Praporządek wyznaczony przez klin ma dodatkowo następujące własności:

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Zbiór jest stożkiem.
  • Jeśli jest domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni to jest ona klinem, ale nie jest stożkiem.
  • Jeżeli jest funkcjonałem liniowym i ciągłym na przestrzeni to zbiór jest klinem.
  • Część wspólna dowolnej rodziny klinów (w danej przestrzeni) jest klinem.
  • Przypomnijmy, że jeżeli jest zbiorem niepustym, to symbolem oznaczamy przestrzeń wszystkich ograniczonych odwzorowań z normą supremum. Zbiór zdefiniowany niżej, jest stożkiem w tej przestrzeni:
  • Jeżeli jest niepustym, domkniętym, ograniczonym zbiorem wypukłym takim, że to zbiór jest stożkiem o niepustym wnętrzu.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]