Stopa hazardu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Stopa hazardu[1] – Pochodna funkcji hazardu. Określa zbliżający się moment bankructwa danej firmy w najbliższej przyszłości. Potocznie nazywany natychmiastową stopą bankructwa.

Wzór[edytuj | edytuj kod]

Stopa hazardu spełnia zależność:

, dla każdego , gdzie:

- funkcja hazardu,

- stopa hazardu.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli zmienna posiada gęstość , wóczas istnieje stopa hazardu dana wzorem:

.

Odwrotnie, jeżeli stopa hazardu istnieje, wówczas posiada gęstość postaci:

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że ma gęstość . Chcemy pokazać, że:

Wyliczając całkę po lewej otrzymujemy:

, gdyż dla prawie wszystkich .

Jeżeli stopa hazardu istnieje i dla prawie wszystkich , wówczas dystrybuanta wyraża się wzorem:

gdzie po zróżniczkowaniu otrzymujemy:

dla prawie wszystkich .

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Jeżeli moment bankructwa ma rozkład wykładniczy to dla każdego :

  • Dla rozkładu gamma o parametrach oraz stopa hazardu wyraża się wzorem:

, dla każdego .

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Marek Capiński, Tomas Zastawniak, Credit Risk, 26 września 2016.