Stopień Brouwera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Stopień 2. dwóch map z kuli na siebie
Przykład 4. stopnia

Stopień Brouwera, lub inaczej stopień topologiczny, jest narzędziem pozwalającym na określenie, czy dane równanie f (x) = y ma rozwiązanie. Jest jednym z niezmienników topologicznych i ma szerokie zastosowanie w nieliniowej analizie matematycznej.

Definicja dla funkcji o wartościach w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej[edytuj]

Niech będzie zbiorem otwartym i ograniczonym, a funkcją ciągłą, gdzie oznacza domknięcie zbioru Ω. Niech ponadto . Stopniem topologicznym trójki nazwiemy liczbę całkowitą spełniającą trzy poniższe aksjomaty:

  1. , gdzie oznacza indykator zbioru Ω, a oznacza odwzorowanie identycznościowe zbioru (normalizacja).
  2. Jeśli i są rozłącznymi podzbiorami otwartymi zbioru oraz , to (addytywność).
  3. Jeśli są funkcjami ciągłymi, oraz dla dowolnego t mamy , to wartość nie zależy od wyboru t (homotopijna niezmienniczość).


Można wykazać, że istnieje dokładnie jedna funkcja przyporządkowująca każdej trójce liczbę całkowitą spełniająca powyższe warunki. Zatem definicja jest poprawna.

Własności stopnia[edytuj]

Stopień topologiczny Brouwera spełnia ponadto następujące własności:

  1. Jeśli , to istnieje takie, że .
  2. Jeśli oraz równość zachodzi dla argumentów z brzegu , to .
  3. Jeśli oraz odległość pomiędzy tymi funkcjami jest mniejsza od odległości y od obrazu brzegu: , to .
  4. Jeśli oraz odległość punktów jest mniejsza od odległości y od obrazu brzegu: , to .
  5. Jeśli jest homeomorfizmem, to .
  6. Jeśli A jest zbiorem domkniętym i , to .

Związek z indeksem Morse'a[edytuj]

Dla dowolnego odwzorowania liniowego, odwracalnego (izomorfizmu) przez oznacza się indeks Morse'a, tj. sumę krotności algebraicznych wszystkich ujemnych wartości własnych odwzorowania A. Niech oznacza zbiór otwarty i ograniczony, i niech . Wtedy, jeśli , to stopień topologiczny jest równy 0, a w przeciwnym wypadku wynosi .

Zastosowania[edytuj]

Stopień Brouwera często stosuje się w teorii bifirkacji równań różniczkowych, np. w dowodzie twierdzenia Krasnosielskiego o istnieniu punktów bifurkacji. W problemach nieskończenie wiele wymiarowych stosuje się odpowiednie uogólnienia stopnia Brouwera, np. stopień Leray-Schaudera.

Bibliografia[edytuj]

  • Jacek Gulgowski, Wacław Marzantowicz: Wstęp do analizy nieliniowej, część 1: Teoria stopnia. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 2003. ISBN 97-88323213-16-1. (pol.)