Stopień rozszerzenia ciała

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

W matematyce, konkretniej teorii ciał, stopień jest w intuicyjnym sensie miarą „rozmiaru” rozszerzenia ciała. Pojęcie to odgrywa ważną rolę w wielu częściach matematyki, w tym algebry i teorii liczb – w wielu dziedzinach, gdzie ciała są kluczowymi obiektami algebraicznymi.

Definicje i oznaczenia[edytuj | edytuj kod]

Niech że będzie rozszerzeniem ciała. Wtedy można traktować jako przestrzeń liniową nad (które odgrywa rolę skalarów). Wymiar tej przestrzeni wektorowej nazywa się stopniem rozszerzenia ciała i jest oznaczany

Stopień może być skończony lub nieskończony, ciało jest nazywane odpowiednio skończonym rozszerzeniem lub nieskończonym rozszerzeniem. Rozszerzenie czasem nazywane jest po prostu skończonym, jeśli jest skończonym rozszerzeniem; nie należy tego mylić z ciałami skończonymi (ciałami o skończonej liczbie elementów).

Twierdzenie o stopniach rozszerzeń ciał[edytuj | edytuj kod]

Dla trzech ciał dla których zachodzi ciąg inkluzji istnieje prosta zależność między stopniami trzech rozszerzeń i

Innymi słowy stopień „dużego” rozszerzenia można obliczyć jako iloczyn pośrednich rozszerzeń. To twierdzenie przypomina twierdzenie Lagrange’a w teorii grup, które łączy rząd grupy i indeks podgrupy; Teoria Galois pokazuje, że ta analogia jest czymś więcej niż tylko zbiegiem okoliczności.

Jeśli jest skończone, to twierdzenie nakłada silne ograniczenia na rodzaj ciał, które mogą wystąpić między i za pomocą prostych arytmetycznych zależności. Na przykład jeśli stopień jest liczbą pierwszą to dla dowolnego ciała pośredniego zachodzi jedno z dwojga: albo oraz w tym przypadku jest równe lub oraz w tym przypadku jest równe W takim razie nie istnieje żadne pośrednie rozszerzenie zawarte w

Dowód twierdzenia w przypadku skończonym[edytuj | edytuj kod]

Niech, że będą ciałami spełniającymi kolejne inkluzje oraz że i są skończone. W takim razie istnieje baza przestrzeni nad oraz baza przestrzeni nad Pokażemy, że elementy tworzą podstawę dla a że jest ich dokładnie ed, to znaczy, że wymiar wynosi de.

Najpierw musimy sprawdzić, że ten zbiór rozpina Niech będzie dowolnym elementem ponieważ tworzą bazę dla nad możemy znaleźć elementy w takie, że

Wtedy, jako że tworzą bazę dla nad możemy znaleźć elementy w takie, że dla każdego

Następnie za pomocą rozdzielności i łączności mnożenia w mamy

co pokazuje, że jest liniową kombinacja o współczynnikach z innymi słowy, rozpinają one nad

Po drugie, musimy sprawdzić, że są one liniowo niezależne nad Załóżmy że:

dla pewnych współczynników w Wtedy mamy:

W takim razie wyrażenia w nawiasie muszą być zerowe, ponieważ są one elementami a są liniowo niezależne nad Czyli

dla każdego Ale, są współczynnikami w oraz są liniowo niezależne nad musimy mieć, że dla wszystkich i To pokazuje, że elementy są liniowo niezależne nad To kończy dowód.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Liczby zespolone są rozszerzeniem ciała nad rzeczywistymi liczbami o stopniu w takim razie nie ma nietrywialnych ciał między nimi.
  • Rozszerzenie ciała otrzymane przez dołączenie do ciała liczb wymiernych, Ma stopień 4, czyli Pośrednie ciało ma stopień 2 nad z twierdzenia o stopniu rozszerzeń mamy
  • W ciało skończone (ciało Galois) ma stopień równy 3 nad W bardziej ogólnym przypadku, jeśli jest pierwsze oraz – liczby całkowite dodatnie i dzieli wtedy
  • Rozszerzenie ciała gdzie to ciało funkcji wymiernych nad ma nieskończony stopień. Zauważmy, że elementy itp. liniowo niezależne nad

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Proof of the multiplicativity formula. W: Nathan Jacobson: Basic Algebra I. W. H. Freeman and Company, 1985, s. 215. ISBN 0-7167-1480-9.
  • Nathan Jacobson: Basic Algebra II. W. H. Freeman and Company, 1989, s. 465. ISBN 0-7167-1933-9.