Stowarzyszone funkcje Legendre’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Stowarzyszone funkcje Legendre'a (stowarzyszone wielomiany Legendre'a) - funkcje zmiennej rzeczywistej , będące kanonicznymi rozwiązaniami równania różniczkowego Legendre'a

gdzie parametry równania.

Równanie to ma niezerowe i nieosobliwe rozwiązania tylko dla liczb całkowitych , , takich że

(1) oraz

(2) , są liczbami całkowitymi, takimi że

Funkcje te są związane z wielomianami Legendre'a zależnością

Stowarzyszone funkcje Legendre'a stanowią zasadniczą część tzw. harmonik sferycznych.

Ogólne rozwiązanie równania Legendre'a[edytuj]

Ogólne rozwiązanie można wyrazić za pomocą kombinacji liniowej dwóch lub większej liczby funkcji o różnych wartościach parametrów . Zazwyczaj rozwiązanie takie znajduje się żądając, aby były spełnione odpowiednie warunki początkowe lub brzegowe.

Przykłady wielomianów Legendre'a [edytuj]

Associated Legendre functions for m = 4

Kilka pierwszych stowarzyszonych wielomianów Legendre'a, włączając te z ujemnymi wartościami m, są następujące:

(0)

(1)

(2)

(3)

(4)

Funkcje Legendre'a wyrażone za pomocą kąta [edytuj]

Funkcje [edytuj]

Stowarzyszone funkcje Legendre'a są najbardziej użyteczne, gdy ich argument wyrazi się w funkcji kąta: podstawiając do równania Legendre'a (por. wstęp do artykułu) wielkość oraz używając relacji otrzymuje się równanie różniczkowe zależne od dwóch parametrów postaci

Rozwiązaniami tego równania są funkcje zmiennej takie że

gdzie wielomianami Legendre'a z argumentem , przy czym rozwiązania są nieosobliwe tylko gdy spełnione są warunki

(1) oraz

(2) , są liczbami całkowitymi, takimi że

Relacje ortogonalności[edytuj]

(1) Dla ustalonego funkcje z parametrem są ortogonalne z wagą

(2) Także, dla danego mamy

Ogólne rozwiązanie[edytuj]

Ogólne rozwiązanie można wyrazić za pomocą kombinacji liniowej dwóch lub większej liczby funkcji o różnych wartościach parametrów . Zazwyczaj rozwiązanie takie znajduje się żądając, aby były spełnione odpowiednie warunki początkowe lub brzegowe.

Przykłady stowarzyszonych funkcji Legendre'a [edytuj]

Zastosowania w fizyce[edytuj]

 Osobny artykuł: Harmoniki sferyczne.

Równania opisujące układy i pola o symetrii sferycznej[edytuj]

Stowarzyszone wielomiany Legendre'a są głównymi składnikami rozwiązań równań fizycznych w wielu sytuacjach, gdy układy i pola mają symetrią sferyczną. Np. równanie Schrödingera zapisane dla atomu wodoru, gdy na atom nie działa żadne pole zewnętrzne (np. pole magnetyczne) ma symetrię sferyczną. W takich sytuacjach wygodnie jest zapisać równanie różniczkowe w układzie współrzędnych sferycznych i rozwiązać je metodą separacji zmiennych. Część równania, która zostaje po odrzuceniu części radialnej zależnej od , ma zwykle postać , przy czym oznacza operator Laplace'a zapisany we współrzędnych sferycznych, przy założeniu stałości współrzędnej radialnej . Rozwiązaniami tego równania są tzw. harmoniki sferyczne, będące iloczynami wielomianów Legendre'a (zależnych od kąta ) i funkcji zależnych od kąta .

Równanie [edytuj]

Wielomiany Legendre'a stanowią główny składnik rozwiązania równania określonego na powierzchni sfery dla zmiennych . Zapisując operator Laplace'a we współrzędnych sferycznych dla stałej współrzędnej radialnej , równanie to przyjmie postać

które rozwiązuje się metodą separacji zmiennych, tj. przyjmując . Otrzymuje się stąd dwa równania:

(1) równanie zależne od

– jego rozwiązania są postaci lub , przy czym , aby rozwiązania były jednoznaczne dla powtarzających się wartości kąta co , tj. .

(2) równanie zależne od

– jego rozwiązaniami są wielomiany Legendre'a mnożone przez dowolną stałą, przy czym oraz , aby rozwiązania nie były osobliwe.

Równanie posiada więc nieosobliwe rozwiązania tylko dla liczb takich że , przy czym rozwiązania te są proporcjonalne do

and

Dla każdej liczby mamy 2ℓ + 1 funkcji o różnych wartościach m oraz dwie funkcje sin i cos. Funkcje te są ortogonalne zarówno dla różnych wartości liczb ℓ oraz m, jeżeli całkuje się je po całej powierzchni sfery.

Rozwiązania te zapisuje się zwykle z użyciem zespolonej funkcji eksponencjalnej

Funkcje nazywa się harmonikami sferycznymi; wielkość pod pierwiastkiem jest czynnikiem normalizacyjnym. Z powyższego wzoru wynika, że zależność między harmonikami sferycznymi o tych samych wartościach , a przeciwnych wartościach m, spełnia zależność

,

gdzie oznacza sprzężenie zespolone.