Suma Gaussa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Sumy Gaussa – sumy pewnych pierwiastków z jedynki odgrywające dużą rolę w teorii liczb. Ich najważniejsze własności zostały udowodnione przez Carla Friedricha Gaussa, który wykorzystał je w jednym z dowodów prawa wzajemności reszt kwadratowych.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie liczbą pierwszą, zaś liczbą całkowitą. Wówczas suma Gaussa jest zadana wzorem

,

gdzie .

Dla niepodzielnych przez (w przeciwnym wypadku suma jest równa ) równoważnie można ją zapisać jako

,

gdzie jest symbolem Legendre'a.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Do wyznaczenia wartości sum Gaussa wystarczy wyznaczenie
  • Dokładna wartość wyliczona przez Gaussa wynosi
  • Dowód tego, że wartość bezwzględna wynosi jest prosty:

, gdyż

.
  • Ogólnie dla dowolnej sumy , gdzie jest liczbą całkowitą, zachodzi

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Harold Davenport, Multiplicative Number Theory, Springer (2000).