Suma prosta przestrzeni liniowych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Suma prosta przestrzeni liniowych – mówimy, że przestrzeń liniowa jest przedstawiona w postaci sumy prostej jej podprzestrzeni liniowych (gdzie jest pewnym zbiorem indeksów), gdy każdy element może być jednoznacznie przedstawiony w postaci poniższej sumy:

dla

Piszemy wówczas:

bądź skrótowo

gdzie

Podział danej przestrzeni na sumy proste pozwala klasyfikować jej elementy – jeżeli dany wektor należy do podprzestrzeni to wyraża się całkowicie za pomocą wektorów bazy tej podprzestrzeni.

Podział przestrzeni na podprzestrzenie tworzące sumę prostą przestrzeni nie jest unikalny – istnieje zazwyczaj wiele możliwych podziałów przestrzeni liniowej na sumy proste.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jest podprzestrzenią liniową przestrzeni to zawsze istnieje taka podprzestrzeń że

W algebrze liniowej, podprzestrzenie i nazywane są podprzestrzeniami (wzajemnie) komplementarnymi.

Przykład 1: Suma prosta w przestrzeni funkcji[edytuj | edytuj kod]

Niech oznacza przestrzeń liniową wszystkich funkcji rzeczywistych określonych w zbiorze liczb rzeczywistych. Niech będą zdefiniowane jako:

Dowolną funkcje można przedstawić jako sumę

gdzie pierwszy składnik jest funkcją parzystą, drugi zaś nieparzystą. Rozkład ten jest jednoznaczny.

Dowód (niewprost)

Załóżmy że daną funkcje daje się rozłożyć na dwa sposoby na sumę funkcji parzystej i nieparzystej. Czyli mamy:

lub równoważnie

Prawa strona jest funkcją parzystą (różnica parzystych jest parzysta) zaś lewa – nieparzystą. Jedyną funkcją która jest jednocześnie parzysta i nieparzysta jest funkcja stale równa zero. Oznacza to że

oraz

co prowadzi nas do sprzeczności z przyjętym założeniem, cdn.

Ponieważ każdą funkcję można jednoznacznie przedstawić za pomocą sumy funkcji parzystej i nieparzystej, to oznacza że przestrzeń funkcji można przedstawić jako sumę prostą funkcji parzystych i nieparzystych:

Przykład 2: Suma prosta w przestrzeni macierzy kwadratowych[edytuj | edytuj kod]

W przestrzeni liniowej macierzy każdą macierz można przedstawić jako sumę macierzy symetrycznej i antysymetrycznej, tzn.

gdzie:

– macierz transponowana macierzy
– macierz symetryczna,
– macierz antysymetryczna.

Macierze symetryczne tworzą podprzestrzeń przestrzeni liniowej macierzy, gdyż:

a) suma macierzy symetrycznych jest macierzą symetryczną,

b) iloczyn macierzy symetrycznej przez skalar daje macierz symetryczną.

Podobnie, macierze antysymetryczne tworzą podprzestrzeń przestrzeni

Ponieważ każdą macierz przestrzeni da się jednoznacznie rozłożyć na macierz symetryczną i antysymetryczną, to całą przestrzeń można przedstawić jako sumę prostą

Np. dla macierzy

macierz transponowana, symetryczna i antysymetryczna mają postacie

Przykład 3: Suma prosta w przestrzeni tensorowej[edytuj | edytuj kod]

Przestrzeń liniowa utworzona z tensorów II rzędu (tzw. przestrzeń tensorowa) może być przedstawiona jako suma prosta przestrzeni tensorowej tensorów symetrycznych i przestrzeni tensorowej tensorów antysymetrycznych. Np. w reprezentacji macierzowej dowolny tensor II rzędu jest reprezentowany przez macierz gdzie – wymiar przestrzeni liniowej, na której określono pole tensorowe. Macierz tę można zawsze przedstawić jako sumę macierzy symetrycznej i antysymetrycznej.

Przykład 4: Przestrzeń wektorowa n-wymiarowa[edytuj | edytuj kod]

Niech oznacza przestrzeń wektorową -wymiarową (ogólnie: -wymiarową). W przestrzeni tej można wprowadzić podział na sumy proste następująco:

  • wybiera się bazę przestrzeni (możliwych baz jest nieskończenie wiele – najprostsze są bazy kartezjańskie, w ogólności mogą to być bazy współrzędnych krzywoliniowych, np. sferycznych, walcowych, i dowolnych innych),
  • zbiór wektorów bazy dzieli się na rozłączne podzbiory; np. dla zbioru -elementowego mamy możliwe podziały bazy:

Każdy z podziałów bazy na podzbiory wyznacza jeden z możliwych sposobów podziału przestrzeni na sumę prostą podprzestrzeni – bazami tych podprzestrzeni są poszczególne podzbiory bazy w danym podziale. W podanym przykładzie mielibyśmy 4 możliwe podziały na sumy proste, których bazami byłyby podane wyżej podzbiory bazy

Dla przestrzeni -wymiarowej – przy dużej wartości – możliwych podziałów byłoby bardzo dużo.

Suma prosta w analizie funkcjonalnej[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Podprzestrzeń komplementarna.

W analizie funkcjonalnej, suma prosta podprzestrzeni i danej przestrzeni liniowo-topologicznej oznacza sumę prostą

przy założeniu, że i domknięte (czasami dla odróżnienia, mówi się o topologicznej sumie prostej). Jeśli jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni liniowo-topologicznej (np. przestrzeni Banacha ), to na ogół, nie istnieje komplementarna do niej podprzestrzeń (tutaj definicję komplementarności zawęża się o wymaganie domkniętości obu podprzestrzeni). W przypadku, gdy jest przestrzenią Hilberta, to twierdzenie o rzucie ortogonalnym gwarantuje, że dla każdej jej domkniętej podprzestrzeni jej dopełnienie ortogonalne stanowi rozkład na (topologiczną) sumę prostą, tzn.

Własność ta (tzn. własność istnienia podprzestrzeni komplementarnej do każdej domkniętej podprzestrzeni) charakteryzuje przestrzenie Hilberta w klasie przestrzeni Banacha.

Zewnętrzna suma prosta[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie rodziną przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem. Najmniejszą podprzestrzeń liniowa iloczynu kartezjańskiego

która zawiera zbiór

tzn. jest przez ten zbiór generowana, gdzie

przyporządkowuje elementowi taki element

że oraz dla nazywana jest (zewnętrzną) sumą prostą rodziny

W przypadku zewnętrznej sumy prostej stosuje się takie same oznaczenia jak w przypadku pojęcia zdefiniowanego na początku artykułu (które dla odróżnienia nazywa się wówczas wewnętrzną sumą prostą). Jeżeli jest zbiorem skończonym, to suma prosta przestrzeni jest tym samym co ich iloczyn kartezjański:

Zewnętrzna suma prosta jest koproduktem w kategorii przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem.

Suma prosta odwzorowań[edytuj | edytuj kod]

Dla pary odwzorowań między przestrzeniami liniowymi i

definiuje się ich sumę prostą

wzorem

Analogicznie definiuje się sumę prostą dowolnej liczby odwzorowań: Jeżeli są przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem oraz

to wzór

definiuje przekształcenie

nazywane sumą prostą rodziny odwzorowań

Suma prosta przestrzeni Banacha[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jest rodziną przestrzeń Banacha, to w (algebraicznej) sumie prostej

nie da się w naturalny sposób zdefiniować normy, która byłaby w istotny sposób związana z normami poszczególnych przestrzeni a uzyskana przestrzeń unormowana byłaby zupełna (poza szczególnym przypadkiem, gdy zbiór jest skończony). W sytuacji ogólnej musimy rozpatrywać uzupełnienie algebraicznej sumy prostej – jest to procedura którą intuicyjnie można opisać jako dołożenie do niej granic ciągów Cauchy’ego. Na algebraicznej sumie prostej można zadać wiele nierównoważnych norm – prowadzi to powstania wielu różnych sposobów określania sumy prostej.

c0-suma przestrzeni Banacha[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jest (przeliczalną) rodziną przestrzeni Banacha, to podprzestrzeń

tych ciągów dla których

jest przestrzenią Banacha z normą

Podprzestrzeń nazywana jest czasem sumą rozważanej wyżej rodziny przestrzeni Banacha i oznaczana jest symbolem

Analogicznie definiuje się sumy typu gdzie jest dowolnym, nieprzeliczalnym zbiorem indeksów.

lp-suma przestrzeni Banacha. Suma prosta przestrzeni Hilberta[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jest rodziną przestrzeni Banacha oraz to podprzestrzeń

złożona z tych elementów dla których co najwyżej przeliczalnie wiele wyrazów jest niezerowych oraz szereg

jest zbieżny, jest przestrzenią Banacha z normą

Przestrzeń nazywana jest -sumą rodziny i oznaczana symbolem

Jeżeli i są dowolnymi liczbami z przedziału to normy w – i -sumie skończenie wielu przestrzeni Banacha są równoważne.

W przypadku, gdy wszystkie przestrzenie przestrzeniami Hilberta, to ich -suma jest również przestrzenią Hilberta. W teorii przestrzeni Hilberta, przestrzeń ta nazywana jest po prostu suma prostą przestrzeni Hilberta (dolny indeks w oznaczeniu najczęściej pomija się). Iloczyn skalarny elementów i w sumie prostej spełnia warunek

Pojęcie -sumy skończenie wielu przestrzeni Banacha pochodzi od Banacha[1]. Przypadek przeliczalnie wielu przestrzeni Banacha rozważał Day[2], natomiast przypadek ogólny został zdefiniowany przez Kakutaniego[3].

Suma prosta operatorów ograniczonych[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jest rodziną operatorów jednakowo ograniczonych między przestrzeniami Banacha, odpowiednio, i tj.

to dla ustalonego definiuje się analogicznie jak w przypadku ogólnych przestrzeni liniowych -sumę rodziny tj. operator

zastępując pojęcie sumy prostej pojęciem -sumy. W szczególności, -suma operatorów ograniczonych jest operatorem ograniczonym oraz

Jeżeli są przestrzeniami Hilberta, to -sumę operatorów nazywa się sumą prostą operatorów na przestrzeniach Hilberta.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Aleksiej I. Kostrikin: Wstęp do algebry, cz. 2 Algebra liniowa. Warszawa: PWN, 2004. ISBN 83-01-14267-7.
  • Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976.
  • Albert Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Wyd. pierwsze. Boston: Birkhäuser, 2007, s. 126–127. ISBN 0-8176-4367-2.
  • A.P. Robertson, W.J. Robertson: Topological vector spaces. Cambridge Tracts in Mathematics. 53: Cambridge University Press, 1964, s. 89–90.