Suma zbiorów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Suma (unia) zbiorów – działanie algebry zbiorów.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Suma zbiorów A i B

Sumą zbiorów nazywa się zbiór złożony ze wszystkich elementów należących do któregokolwiek z sumowanych zbiorów. Suma zbiorów A i  B jest oznaczana symbolem A\cup B. Tak więc:

A\cup B=\{x\colon x\in A\vee x\in B\}

Suma jest zdefiniowana również dla większej ilości zbiorów: sumę rodziny zbiorów (zwaną też sumą uogólnioną) definiujemy jako zbiór elementów, które należą do przynajmniej jednego ze zbiorów z tej rodziny. Tak więc suma rodziny zbiorów {\mathfrak A} to

\bigcup {\mathfrak A}  = \{x:(\exists  A \in \mathfrak A)(x\in A)\}

Podobnie dla indeksowanej rodziny zbiorów (A_i)_{i\in I} definiujemy

\bigcup_{i\in I} A_i = \{a : (\exists i \in I)(a\in A_i)\}.

Należy zauważyć, że poza teorią mnogości matematycy używają raczej sum rodzin indeksowanych niż sum zbiorów zbiorów. Jedne mogą zredukowane do drugich, np \bigcup_{i\in I}A_i  = \bigcup \{ A_i: i\in I\}, a użycie zapisu indeksowanego jest często bardziej czytelne.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

\bigcup {\mathfrak A}=(\sqrt{2},\sqrt{5}).

Aksjomat sumy[edytuj | edytuj kod]

Powyższa definicja sumy zbiorów jest w pewnym stopniu niekompletna. Zapis A\cup B=\{x:x\in A\vee x\in B\} należy rozumieć jako opisujący zbiór A\cup B przez podanie własności jego elementów, tak jak podaliśmy w opisie słownym. Nie zastanawiliśmy się natomiast czy taki zbiór istnieje. Podobnie dla dowolnej rodziny zbiorów {\mathfrak A} powinniśmy zapytać czy istnieje zbiór U do którego należą dokładnie te obiekty x, które należą do co najmniej jednego spośród zbiorów, które są elementami rodziny {\mathfrak A}. Nasze definicje sumy zbiorów (w obu przypadkach) będą poprawne tylko wtedy gdy odpowiedź na pytanie o istnienie odpowiedniego zbioru jest pozytywna. Aby to zagwarantować, wśród standardowych aksjomatów teorii mnogości wymienia się również aksjomat sumy:

(\forall {\mathfrak A})(\exist U)(\forall x)\Big(x\in U\ \Leftrightarrow\ (\exist A)(x\in A\wedge A\in {\mathfrak A})\Big).

Własności[edytuj | edytuj kod]

Operacje skończone[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnych zbiorów A,B,C zachodzą następujące równości:

  • \bigcup\varnothing=\varnothing;
  •  \bigcup \{ A\} = A =A\cup A;
  •  \bigcup \{ A, B\} = A \cup B;
  • \varnothing\cup A=A;
  • (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)     (łączność);
  • A \cup B = B \cup A     (przemienność);
  • (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B\cup C) oraz (A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B\cap C)     (rozdzielność każdego z dwóch działań, przekroju i sumy, względem drugiego);
  • C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B) (prawo De Morgana).

Ponadto,

  • A\subseteq B wtedy i tylko wtedy, gdy A\cup B = B.
({\mathcal P}({\mathbf U}),\cup,\cap,\setminus,\varnothing,{\mathbf U})
jest zupełną algebrą Boole'a.
 A \cap B = (A \cup B) \dot- (A \dot- B) oraz  A \setminus B = A \dot- (A \cap B)

Operacje nieskończone[edytuj | edytuj kod]

Własności przekroju skończenie wielu zbiorów uogólniają się na przekrój rodzin indeksowanych zbiorów. Niech \{A_i\colon i\in I\}, \{B_i\colon i\in I\} oraz \{C_{j,k} \colon j\in J\ \wedge\ k\in K\} będą indeksowanymi rodzinami zbiorów. Niech  D będzie zbiorem. Wówczas

  • \bigcup\limits_{i\in I} (A_i\cup B_i)=\bigcup\limits_{i\in I} A_i\cup \bigcup\limits_{i\in I} B_i
  • \bigcup\limits_{i\in I} (A_i\cap B_i)\subseteq \bigcup\limits_{i\in I} A_i\cap \bigcup\limits_{i\in I} B_i
  • D\cap \bigcup\limits_{i\in I} A_i=\bigcup\limits_{i\in I} (A_i\cap D)
  • D\cup \bigcup\limits_{i\in I} A_i=\bigcup\limits_{i\in I} (A_i\cup D)
  • D\setminus \bigcup\limits_{i\in I} A_i=\bigcap\limits_{i\in I} D\setminus A_i
  • \bigcup\limits_{j\in J}\bigcup\limits_{k\in K} C_{j,k}=\bigcup\limits_{k\in K}\bigcup\limits_{j\in J} C_{j,k}
  • \bigcup\limits_{j\in J}\bigcap\limits_{k\in K} C_{j,k}\subseteq\bigcap\limits_{k\in K}\bigcup\limits_{j\in J} C_{j,k}

Następującą formułę przytaczamy jako ciekawostkę. Niech {\mathfrak A} będzie rodziną zbiorów. Wówczas

\bigcup(\bigcup {\mathfrak A}) = \bigcup \{\bigcup A : A\in {\mathfrak A}\}.

Na przykład niech  \mathfrak{A} = \{\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2\} , gdzie  \mathcal{A}_1 = \{A_1, A_2\} oraz  \mathcal{A}_2 = \{A_3, A_4\}. Wtedy z jednej strony:

\bigcup(\bigcup {\mathfrak A}) = \bigcup \{A_1, A_2, A_3, A_4\} = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4 ,

a z drugiej

\bigcup \{\bigcup A : A\in {\mathfrak A}\} = \bigcup \{A_1 \cup A_2, A_3 \cup A_4\} = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4.

Suma a obrazy i przeciwobrazy[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnej funkcji f : X\longrightarrow Y, dla dowolnej rodziny indeksowanej \{A_i:i\in I\} podzbiorów zbioru  X , oraz dla dowolnej rodziny indeksowanej \{B_j:j\in J\} podzbiorów zbioru  Y , prawdziwe są następujące dwa stwierdzenia:

  • f^{-1}\left(\bigcup\limits_{j\in J} B_j\right) = \bigcup\limits_{j\in J} f^{-1}(B_j) (inaczej mówiąc, przeciwobraz sumy jest sumą przeciwobrazów);
  • f\left(\bigcup\limits_{i\in I} A_i\right)=\bigcup\limits_{i\in I} f(A_i) (czyli obraz sumy jest sumą obrazów).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 2. PWN, 1966.
  2. K. Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 7. PWN, 1977.
  3. H. Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 3. PWN, 1971.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]