Suma zbiorów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Suma (unia) zbiorów – działanie algebry zbiorów.

Definicje formalne[edytuj]

Suma zbiorów A i B

Sumą zbiorów nazywa się zbiór złożony ze wszystkich elementów należących do któregokolwiek z sumowanych zbiorów. Suma zbiorów i jest oznaczana symbolem . Tak więc:

Suma jest zdefiniowana również dla większej ilości zbiorów: sumę rodziny zbiorów (zwaną też sumą uogólnioną) definiujemy jako zbiór elementów, które należą do przynajmniej jednego ze zbiorów z tej rodziny. Tak więc suma rodziny zbiorów to

Podobnie dla indeksowanej rodziny zbiorów definiujemy

Należy zauważyć, że poza teorią mnogości matematycy używają raczej sum rodzin indeksowanych niż sum zbiorów zbiorów. Jedne mogą zredukowane do drugich, np. , a użycie zapisu indeksowanego jest często bardziej czytelne.

Przykłady[edytuj]

  • Niech będzie zbiorem liczb wymiernych a niech będzie zbiorem liczb niewymiernych. Wówczas jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych, tzn. .
  • ,
  • Niech będzie rodziną wszystkich otwartych przedziałów o końcach wymiernych zawartych w odcinku . Wówczas
.

Aksjomat sumy[edytuj]

Powyższa definicja sumy zbiorów jest w pewnym stopniu niekompletna. Zapis należy rozumieć jako opisujący zbiór przez podanie własności jego elementów, tak jak podaliśmy w opisie słownym. Nie zastanawiliśmy się natomiast czy taki zbiór istnieje. Podobnie dla dowolnej rodziny zbiorów powinniśmy zapytać czy istnieje zbiór do którego należą dokładnie te obiekty , które należą do co najmniej jednego spośród zbiorów, które są elementami rodziny . Nasze definicje sumy zbiorów (w obu przypadkach) będą poprawne tylko wtedy, gdy odpowiedź na pytanie o istnienie odpowiedniego zbioru jest pozytywna. Aby to zagwarantować, wśród standardowych aksjomatów teorii mnogości wymienia się również aksjomat sumy:

.

Własności[edytuj]

Operacje skończone[edytuj]

Dla dowolnych zbiorów zachodzą następujące równości:

  • ;
  • ;
  • ;
  • ;
  •     (łączność);
  •     (przemienność);
  • oraz     (rozdzielność każdego z dwóch działań, przekroju i sumy, względem drugiego);
  • (prawo De Morgana).

Ponadto,

  • wtedy i tylko wtedy, gdy .
  • Niech będzie niepustym zbiorem a niech będzie rodziną wszystkich podzbiorów zbioru . Wówczas
jest zupełną algebrą Boole'a.
oraz

Operacje nieskończone[edytuj]

Własności przekroju skończenie wielu zbiorów uogólniają się na przekrój rodzin indeksowanych zbiorów. Niech , oraz będą indeksowanymi rodzinami zbiorów. Niech będzie zbiorem. Wówczas

Następującą formułę przytaczamy jako ciekawostkę. Niech będzie rodziną zbiorów. Wówczas

Na przykład niech , gdzie oraz . Wtedy z jednej strony:

,

a z drugiej

.

Suma a obrazy i przeciwobrazy[edytuj]

Dla dowolnej funkcji , dla dowolnej rodziny indeksowanej podzbiorów zbioru , oraz dla dowolnej rodziny indeksowanej podzbiorów zbioru , prawdziwe są następujące dwa stwierdzenia:

  • (inaczej mówiąc, przeciwobraz sumy jest sumą przeciwobrazów);
  • (czyli obraz sumy jest sumą obrazów).

Bibliografia[edytuj]

  1. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 2. PWN, 1966.
  2. K. Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 7. PWN, 1977.
  3. H. Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 3. PWN, 1971.

Zobacz też[edytuj]