Suma zbiorów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Suma (unia) zbiorów – działanie algebry zbiorów.

Definicje formalne[edytuj]

Suma zbiorów A i B

Sumą zbiorów nazywa się zbiór złożony ze wszystkich elementów należących do któregokolwiek z sumowanych zbiorów (i niezawierający innych elementów)[1][2][3].

Suma zbiorów i jest oznaczana symbolem (rzadziej [3]). Tak więc:

[1][2][3]

co można równoważnie zapisać jako

[4][5],

gdzie jest zbiorem wszystkich rozważanych obiektów zwanym przestrzenią[6][7] lub uniwersum[8].

Suma jest zdefiniowana również dla większej ilości zbiorów: sumę rodziny zbiorów (zwaną też sumą uogólnioną) definiujemy jako zbiór elementów, które należą do przynajmniej jednego ze zbiorów z tej rodziny. Tak więc suma rodziny zbiorów to

[9]

Podobnie dla indeksowanej rodziny zbiorów definiujemy

co jest równoważne

[10][11].

Należy zauważyć, że poza teorią mnogości matematycy używają raczej sum rodzin indeksowanych niż sum zbiorów zbiorów. Jedne mogą zredukowane do drugich, np. , a użycie zapisu indeksowanego jest często bardziej czytelne.

Przykłady[edytuj]

  • Niech będzie zbiorem liczb wymiernych a niech będzie zbiorem liczb niewymiernych. Wówczas jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych, tzn. [1].
  • ,
  • Niech będzie rodziną wszystkich otwartych przedziałów o końcach wymiernych zawartych w odcinku . Wówczas
.

Aksjomat sumy[edytuj]

Powyższa definicja sumy zbiorów jest w pewnym stopniu niekompletna. Zapis należy rozumieć jako opisujący zbiór przez podanie własności jego elementów, tak jak podaliśmy w opisie słownym. Nie zastanawiliśmy się natomiast czy taki zbiór istnieje. Podobnie dla dowolnej rodziny zbiorów powinniśmy zapytać czy istnieje zbiór do którego należą dokładnie te obiekty , które należą do co najmniej jednego spośród zbiorów, które są elementami rodziny . Nasze definicje sumy zbiorów (w obu przypadkach) będą poprawne tylko wtedy, gdy odpowiedź na pytanie o istnienie odpowiedniego zbioru jest pozytywna. Aby to zagwarantować, wśród standardowych aksjomatów teorii mnogości wymienia się również aksjomat sumy. W wersji dla dwóch zbiorów brzmi on następująco:

Quote-alpha.png
Dla dowolnych zbiorów i istnieje zbiór, którego elementami są wszystkie elementy zbioru i wszystkie elementy zbioru , i który innych elementów nie zawiera[3][12][13].

czyli

.

W ogólniejszej wersji dla będącego dowolną (również nieskończoną) rodziną zbiorów aksjomat sumy przybiera postać[a]:

Quote-alpha.png
Dla każdej rodziny zbiorów istnieje zbiór złożony z tych i tylko tych elementów, które należą do jakiegoś zbioru należącego do [9],

czyli

.

Własności[edytuj]

Operacje skończone[edytuj]

Dla dowolnych zbiorów zachodzą następujące równości:

  • ;
  • [14]     (idempotentność);
  • ;
  • [14]     (zbiór pusty jest elementem neutralnym sumowania zbiorów);
  • [14]     (łączność);
  • [14]     (przemienność);
  • oraz [15]     (rozdzielność każdego z dwóch działań, przekroju i sumy, względem drugiego);
  • oraz [16]     (prawo De Morgana).

Ponadto,

  • wtedy i tylko wtedy, gdy .
  • Niech będzie niepustym zbiorem a niech będzie rodziną wszystkich podzbiorów zbioru . Wówczas
jest zupełną algebrą Boole'a.
oraz

Operacje nieskończone[edytuj]

Własności sumy skończenie wielu zbiorów uogólniają się na sumę rodzin indeksowanych zbiorów. Niech , oraz będą indeksowanymi rodzinami zbiorów. Niech będzie zbiorem. Wówczas

Następującą formułę przytaczamy jako ciekawostkę. Niech będzie rodziną zbiorów. Wówczas

Na przykład niech , gdzie oraz . Wtedy z jednej strony:

,

a z drugiej

.

Suma a obrazy i przeciwobrazy[edytuj]

Dla dowolnej funkcji , dla dowolnej rodziny indeksowanej podzbiorów zbioru , oraz dla dowolnej rodziny indeksowanej podzbiorów zbioru , prawdziwe są następujące dwa stwierdzenia:

  • (inaczej mówiąc, przeciwobraz sumy jest sumą przeciwobrazów);
  • (czyli obraz sumy jest sumą obrazów).

Uwagi[edytuj]

  1. Oznaczenia w cytacie zostały zmienione.

Przypisy

Bibliografia[edytuj]

  1. Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1952, seria: Monografie matematyczne, t. 27. OCLC 250182901. [dostęp 2016-09-23].
  2. Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 8. Warszawa: PWN, 1980, seria: Biblioteka matematyczna, t. 9. ISBN 83-01-01372-9.
  3. Roman Leitner: Zarys matematyki wyższej dla studentów. Wyd. 11. Cz. 1. Warszawa: WNT, 1999. ISBN 83-204-2395-3.
  4. Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1975, seria: Biblioteka matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
  5. Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. ISBN 83-01-12129-7.

Zobacz też[edytuj]