Symbole Christoffela

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Symbole Christoffela – to zespół liczb rzeczywistych, pojawiający się przy obliczaniu różniczek wektora w układach współrzędnych krzywoliniowych, wprowadzonych w dowolnych rozmaitościach riemannowskich.

Np. różniczka wektora powstająca przy infinitezymalnej zmianie położenia na na rozmaitości wyrażana jest za pomocą symboli Christoffela 2-go rodzaju. W ogólności symbole te występują w różniczkach wielkości tensorowych, gdy oblicza się zmianę tych wielkości przy zmianie położenia na rozmaitości (wektor jest tensorem 1-go rzędu). Symbole te pojawiają się także równaniach różniczkowych określających linie geodezyjne.

Istnieją dwa, blisko spokrewnione ze sobą typy symboli:

  • pierwszego rodzaju:
  • drugiego rodzaju:

Nazwa symboli pochodzi od Elwina Bruno Christoffela.

Baza lokalna wektorów na rozmaitości[edytuj]

Niech oznaczają współrzędne (na ogół krzywoliniowe) zdefiniowane na rozmaitości , przy czym jest wymiarem rozmaitości.

Wektory styczne do linii współrzędnych oblicza się ze wzoru

gdzie jest wektorem wodzącym punktu na rozmaitości. Wektory te definiują lokalną bazę, określona dla przestrzeni stycznej w punkcie rozmaitości . (Odtąd będziemy skrótowo mówić "punkt " zamiast "punkt o wektorze wodzącym ". Zauważmy jednak, że wektor wodzący zależy od przyjętego początku układu współrzędnych, punkt zaś jest niezależnym od tego wyboru elementem rozmaitości.) Dla każdego punktu rozmaitości da się określić lokalną, unikalną bazę.

Tensor metryczny[edytuj]

Na podstawie wektorów bazy łatwo jest obliczyć tensor metryczny rozmaitości licząc iloczyny skalarne wektorów bazy:

Tensor ten ma więc elementów. Jest to postać kowariantna (o dolnych indeksach) tensora. Postać kontrawariantną (o górnych indeksach) otrzymuje się jako macierz odwrotną z macierzy , czyli:

Symbole Christoffela pierwszego rodzaju[edytuj]

Symbole Christoffela pierwszego rodzaju można obliczyć różniczkując elementy tensora metrycznego :

Symbole Christoffela pierwszego rodzaju nie są tensorami, mimo że są zapisane w takiej samej notacji jak tensory. Symbole te zależą od elementów tensora metrycznego wybranego układu współrzędnych. Dlatego w danej rozmaitości można wybrać taki układ współrzędnych, w którym symbole Christoffela wyzerują się w otoczeniu wybranego punktu . Ale nie będzie tak już w innych punktach, gdyż tensor metryczny zmienia się ze zmianą położenia punktu na rozmaitości. Powyższe uwagi dotyczą także symboli Christoffela drugiego rodzaju.

Symbole Christoffela drugiego rodzaju[edytuj]

Symbole Christoffela drugiego rodzaju można obliczyć różniczkując elementy tensora metrycznego :

przy czym wielkości o górnych indeksach są elementami macierzy odwrotnej do macierzy , tj.

,

gdzie delta Kroneckera i obowiązuje notacja sumacyjna Einsteina (w powyższym wzorze sumowanie przebiega po wskaźniku ).

Także symbole Christoffela drugiego rodzaju nie są tensorami. Zachodzi symetria:

– to wynika z definicji symboli oraz z symetrii tensora metrycznego.

Liczba symboli zależy od . Np. dla mamy symbol. Dla mamy już symbole, itd.

Szkic wyprowadzenia symboli drugiego rodzaju[edytuj]

1) Symbole Christoffela drugiego rodzaju są zdefiniowane jako takie wielkości liczbowe, które spełniają równanie

,

gdzie jest połączeniem Leviego-Civity obliczonym w kierunku wektora .

2) Symbole te można także wyprowadzić z warunku zerowania się pochodnych kowariantnych tensora metrycznego :

Przez permutację indeksów oraz sumowanie otrzymuje się wyrażenie symboli Christoffela w zależności od elementów tensora metrycznego – wzór podany na początku tego rozdziału.

Notacja skrócona[edytuj]

W notacji skróconej symbole oraz symbole pochodnych cząstkowych są zastępowane symbolami oraz . Np.

Symbole Christoffela dla 4-wymiarowej czasoprzestrzeni[edytuj]

W ogólnej teorii względności czasoprzestrzeń jest traktowana jako 4-wymiarowa rozmaitość pseudoriemannowska. Symbole Christoffela oblicza się według takich samych wzorów, jak podano wyżej, przy czym indeksy współrzędnych numeruje się tradycyjnie liczbami .

Symbole Christoffela są tu wielkościami analogicznymi do natężeń pól grawitacyjnych teorii grawitacji Newtona. Wybór układu współrzędnych związanego z obserwatorem swobodnie spadającym w polu grawitacyjnym powoduje zerowanie się symboli Christoffela w dla punktów w pobliżu początku układu współrzędnych[1] (w układach tych ciała są w stanie nieważkości).

Przykład – współrzędne biegunowe[edytuj]

Liczenie wektorów bazy[edytuj]

Obliczymy wektory bazowe dla układu współrzędnych biegunowych .

Tutaj . Między tymi współrzędnymi a współrzędnymi kartezjańskimi ( oznacza teraz współrzędną kartezjańską, nie punkt w rozmaitości) zachodzą związki:

Wektory bazy mają postać:

Długości wektorów bazy wynoszą:

, gdzie iloczyn skalarny wektora

Widać, że długość wektora rośnie proporcjonalnie do – nie jest to wektor jednostkowy! Fakt ten jest słuszny w ogólności, gdy wektory bazy są liczone za pomocą wyżej podanego wzoru. Stąd m.in. wynika zmiana współrzędnych wektorów pola wektorowego podczas przemieszczania się z danego punktu do innego punktu, w szczególności infinitezymalnie oddalonego.

Liczenie tensora metrycznego[edytuj]

Obliczamy iloczyny skalarne

co w postaci macierzowej wygląda tak:

Tensor kontrawariantny otrzymamy licząc macierz odwrotną do macierzy elementów :

Liczenie symboli Christoffela 2-go rodzaju[edytuj]

Mając tensor metryczny obliczamy z wzoru wartości symboli Christoffela

,

przy czym w liczeniu każdego symbolu – ze względu na użytą w zapisie konwencję sumacyjną Einsteina.

Ponieważ dla , to upraszcza znacznie obliczenia. Otrzymamy:

,
.

Pozostałe symbole zerują się, tj..== Przypisy ==

  1. L. D. Landau, J. M. Lifszyc, Teoria pola, PWN, Warszawa 2009, str. 297 – 298.

Bibliografia[edytuj]

  • Kreyszig, Erwin (1991), Differential Geometry, Dover Publications, ISBN 9780486667218
  • L. D. Landau, J. M. Lifszyc, Teoria pola, PWN, Warszawa 2009.

Zobacz też[edytuj]