Symediana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Symediana to prosta Cevy będąca odbiciem symetrycznym środkowej trójkąta względem dwusiecznej wychodzącej z tego samego wierzchołka. Symediany przecinają się w jednym punkcie (zwanym punktem Lemoine'a), jak wiele innych charakterystycznych prostych Cevy.

Właściwości[edytuj | edytuj kod]

Symediana.png

Jeżeli czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg, to następujące fakty są równoważne (jeśli zachodzi jeden z nich, to automatycznie zachodzą pozostałe):

  • półprosta DB jest symedianą w trójkącie  \Delta ACD
  • |AB| \cdot |CD| = |BC| \cdot |AD|
  • styczne do okręgu opisanego na czworokącie w punktach A i C (zielone) oraz prosta przechodząca przez punkty B i D (niebieska) są współpękowe.

Twierdzenie o symedianie[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli w \Delta ABC przez X oznaczymy punkt przecięcia symediany poprowadzonej z punktu C z bokiem AB, to zachodzi równość:

\frac{AX}{BX} = \frac{AC^2}{BC^2}

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech C' będzie środkiem boku AB. Wtedy z twierdzenia sinusów mamy:

\frac{|BC|}{\sin \angle BC'C}=\frac{|BC'|}{\sin \angle BCC'}
\frac{|AC|}{\sin \angle AC'C}=\frac{|AC'|}{\sin \angle ACC'}

zatem

\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{\sin \angle ACC'}{\sin \angle BCC'}

Ponieważ symediana jest odbiciem środkowej w dwusiecznej, to

\angle BCC'=\angle ACX oraz \angle ACC'=\angle BCX

więc \frac{|BC|}{|AC|}=\frac{\sin \angle BCX}{\sin \angle ACX}

Z twierdzenia sinusów mamy też, że

\frac{|AC|}{\sin \angle AXC}=\frac{|AX|}{\sin \angle ACX}
\frac{|BC|}{\sin \angle BXC}=\frac{|BX|}{\sin \angle BCX}

więc

\frac{|AX|}{|BX|}=\frac{|AC|}{|BC|} \cdot \frac{\sin \angle BXC}{\sin \angle AXC} \cdot \frac{\sin \angle ACX}{\sin \angle BCX}

 \angle BXC + \angle AXC = 180^\circ, więc \sin \angle BXC = \sin \angle AXC, stąd

\frac{|AX|}{|BX|}=\frac{|AC|}{|BC|} \cdot \frac{\sin \angle ACX}{\sin \angle BCX}
\frac{|AX|}{|BX|}=\frac{|AC|^2}{|BC|^2}