Symediana

Trójkąt z zaznaczonymi środkowymi (czarne linie), dwusiecznymi (przerywane) i symedianami (czerwone).

Symediana – prosta Cevy będąca odbiciem symetrycznym środkowej trójkąta względem dwusiecznej wychodzącej z tego samego wierzchołka. Symediany przecinają się w jednym punkcie (zwanym punktem Lemoine’a), jak wiele innych charakterystycznych prostych Cevy.

Właściwości

Jeżeli czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg, to następujące fakty są równoważne (jeśli zachodzi jeden z nich, to automatycznie zachodzą pozostałe):

• półprosta $DB$ jest symedianą w trójkącie $\Delta ACD,$
• $|AB|\cdot |CD|=|BC|\cdot |AD|,$
• styczne do okręgu opisanego na czworokącie w punktach $A$ i $C$ (zielone) oraz prosta przechodząca przez punkty $B$ i $D$ (niebieska) są współpękowe.

Twierdzenie o symedianie

Jeżeli w $\Delta ABC$ przez $X$ oznaczymy punkt przecięcia symediany poprowadzonej z punktu $C$ z bokiem $AB,$ to zachodzi równość:

${\frac {AX}{BX}}={\frac {AC^{2}}{BC^{2}}}.$

Dowód

Niech $C'$ będzie środkiem boku $AB.$ Wtedy z twierdzenia sinusów mamy:

${\frac {|BC|}{\sin \angle BC'C}}={\frac {|BC'|}{\sin \angle BCC'}},$

${\frac {|AC|}{\sin \angle AC'C}}={\frac {|AC'|}{\sin \angle ACC'}},$

zatem

${\frac {|BC|}{|AC|}}={\frac {\sin \angle ACC'}{\sin \angle BCC'}}.$

Ponieważ symediana jest odbiciem środkowej w dwusiecznej, to

$\angle BCC'=\angle ACX$ oraz $\angle ACC'=\angle BCX,$

więc ${\frac {|BC|}{|AC|}}={\frac {\sin \angle BCX}{\sin \angle ACX}}.$

Z twierdzenia sinusów mamy też, że

${\frac {|AC|}{\sin \angle AXC}}={\frac {|AX|}{\sin \angle ACX}},$

${\frac {|BC|}{\sin \angle BXC}}={\frac {|BX|}{\sin \angle BCX}},$

więc

${\frac {|AX|}{|BX|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}\cdot {\frac {\sin \angle BXC}{\sin \angle AXC}}\cdot {\frac {\sin \angle ACX}{\sin \angle BCX}}.$

$\angle BXC+\angle AXC=180^{\circ },$ więc $\sin \angle BXC=\sin \angle AXC,$ stąd

${\frac {|AX|}{|BX|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}\cdot {\frac {\sin \angle ACX}{\sin \angle BCX}},$

${\frac {|AX|}{|BX|}}={\frac {|AC|^{2}}{|BC|^{2}}}.$