Symediana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Symediana to prosta Cevy będąca odbiciem symetrycznym środkowej trójkąta względem dwusiecznej wychodzącej z tego samego wierzchołka. Symediany przecinają się w jednym punkcie (zwanym punktem Lemoine'a), jak wiele innych charakterystycznych prostych Cevy.

Właściwości[edytuj]

Symediana.png

Jeżeli czworokąt jest wpisany w okrąg, to następujące fakty są równoważne (jeśli zachodzi jeden z nich, to automatycznie zachodzą pozostałe):

  • półprosta jest symedianą w trójkącie
  • styczne do okręgu opisanego na czworokącie w punktach i (zielone) oraz prosta przechodząca przez punkty i (niebieska) są współpękowe.

Twierdzenie o symedianie[edytuj]

Jeżeli w przez oznaczymy punkt przecięcia symediany poprowadzonej z punktu z bokiem , to zachodzi równość:

Dowód[edytuj]

Niech będzie środkiem boku . Wtedy z twierdzenia sinusów mamy:

zatem

Ponieważ symediana jest odbiciem środkowej w dwusiecznej, to

oraz

więc

Z twierdzenia sinusów mamy też, że

więc

, więc , stąd