Sześcian (geometria)

Przykład sześcianu

Sześcian, inaczej heksaedr (z gr.) lub sześciościan foremny – bryła, której powierzchnia jest zbudowana wyłącznie z sześciu kwadratów. W konsekwencji:

• ściany te są przystające (≅);
• sąsiednie ściany są prostopadłe (⊥), tj. dla ścian o wspólnej krawędzi odpowiedni kąt dwuścienny jest prosty;
• krawędzi jest dwanaście (12);
• wierzchołków jest osiem (8);
• przekątne całego sześcianu są cztery (4);

Przez te własności sześcian należy do różnych klas figur. Bywa definiowany przez te szersze pojęcia, np. jako prostopadłościan o samych kwadratowych ścianach. Podstawowa wiedza o sześcianach to standardowy element wykształcenia podstawowego – o tych figurach mówi np. podstawa programowa polskich szkół podstawowych.

Wzory

Niech $a$ oznacza długość krawędzi sześcianu. Wtedy powiązane wielkości są opisane poniższymi wzorami.

Długości

Przykład sześcianu. Na czerwono zaznaczono jedną z przekątnych tej bryły, a na zielono – jedną z przekątnych ściany

• Suma długości krawędzi sześcianu:

$S_{k}=12a$

• Długość przekątnej:

$d=a{\sqrt {3}}$

• Długość promienia kuli wpisanej:

$r={\frac {a}{2}}$

• Długość promienia kuli opisanej:

$R={\frac {d}{2}}={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}$

Inne wielkości

• Miara kąta między ścianami:

$\alpha ={\frac {\pi }{2}}$

• Pole powierzchni całkowitej:

$S=6a^{2}$

• Objętość:

$V=a^{3}$

Inne własności

Kompletna lista siatek sześcianu

• Istnieje jedenaście (11) siatek sześcianu. Aby je otrzymać, trzeba wykonać co najmniej 7 cięć wzdłuż krawędzi.
• Kąt bryłowy przy wierzchołku – tj. kąt trójścienny – ma miarę π/2 (steradianów).
• Grupą symetrii sześcianu jest O_h.

Występowanie w naturze

Naturalne kostki fluorytu

Kryształy mogą przybierać sześcienne kształty. Przykłady minerałów o tej własności to:

• halit (chlorek sodu);
• galena (siarczek ołowiu(II));
• piryt (disiarczek żelaza(II));
• fluoryt (fluorek wapnia).

Powiązane bryły

Sześcian ma różne uogólnienia – jest przykładem różnych wielościanów jak:

• prostopadłościan;
• romboedr;
• równoległościan;
• graniastosłup prawidłowy;
• sześciościan;
• wielościan foremny.

Oprócz tego rozważa się:

• odpowiedniki sześcianu w wymiarach wyższych niż trzy – por. hipersześcian i kostka Tichonowa.
• bryły konstruowane z sześcianu – por. sześcian ścięty i kostka Mengera.

Zobacz też

• Kostka (teoria grafów)
• Kostka Rubika
• Kość do gry

Bibliografia

• Klaus Mainzer: Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science. Walter de Gruyter, 1996. ISBN 978-3-11-088693-1.
• Hugo Steinhaus: Sto zadań. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1958.

Linki zewnętrzne

• JoannaJ. Jaszuńska JoannaJ., Wędrowanie po sześcianie, „Delta”, lipiec 2017, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-10-30] .
• JarosławJ. Górnicki JarosławJ., Kostka, „Delta”, październik 2021, ISSN 0137-3005 [dostęp 2025-10-19] .
• Sześcian na Matematicus.pl