Szereg 1 + 2 + 4 + 8 + …

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Szereg 1 + 2 + 4 + 8 + …nieskończony szereg, którego wyrazy są kolejnymi potęgami liczby 2. Jako szereg geometryczny, jest on opisany przez pierwszy wyraz szeregu, równy 1, oraz iloraz szeregu geometrycznego, równy 2. Jako szereg liczb rzeczywistych jest on rozbieżny, czyli z definicji jego suma nie istnieje. W znacznie szerszym sensie, z tym szeregiem jest skojarzona inna liczba oprócz a mianowicie

Sumowanie[edytuj | edytuj kod]

Sumy cząstkowe szeregu to rosną one do nieskończoności, tak jak szereg. Dlatego też każda regularna metoda sumowania, w tym sumowalność metodą Cesàro i sumowalność metodą Abela, prowadzi do nieskończonych wyników[1].

Z drugiej strony istnieje przynajmniej jedna użyteczna metoda która sumuje do wartości skończonej równej Skojarzony szereg potęgowy

ma promień zbieżności równy czyli nie jest zbieżny dla Niemniej jednak tak zdefiniowana funkcja posiada unikalne przedłużenie analityczne na płaszczyźnie zespolonej bez ograniczenia do i jest ono zdefiniowane przez tę samą regułę Ponieważ to można powiedzieć, że pierwotny szereg jest sumowalny do −1, i −1 to suma tego szeregu[2].

Niemalże identycznym sposobem jest rozważenie szeregu potęgowego, w którym wszystkie współczynniki są równe 1, tj.

i podstawienie Oczywiście oba te szeregi są ze sobą w relacji przez zamianę zmiennych

Fakt, że sumowanie przypisuje skończoną wartość do że ogólna metoda nie jest całkowicie regularna. Z drugiej strony posiada ona pewne pożądane własności metody sumacyjnej, włączając w to stabilność i liniowość. Właściwie to dwa ostatnie aksjomaty powodują, ze suma szeregu wynosi ponieważ powodują, że następujące przekształcenia są poprawne

w użytecznym sensie, jest pierwiastkiem równania (Na przykład jest jednym z dwóch punktów stałych funkcji homograficznej na sferze Riemanna). Jeśli jest znana jakaś metoda sumowania, która zwraca zwykłą liczbę dla tj. nie to jest ona łatwa do określenia. W tym przypadku może być odjęte od obu stron równości, dając skąd [3].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Hardy 1949 ↓, s. 10.
  2. Hardy 1949 ↓, s. 8, 10.
  3. Hardy 1949 ↓, s. 19.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]