Szereg Dirichleta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Szereg Dirichleta jest dowolnym szeregiem postaci

gdzie s należy do zbioru liczb zespolonych oraz a jest ciągiem o wartościach zespolonych. Jest to szczególny przypadek ogólnego szeregu Dirichleta.

Szerg Dirichleta odgrywa ważną rolę w analitycznej teorii liczb. Najczęściej spotykana definicja funkcji dzeta Riemanna jest szeregiem Dirichleta, podobnie jak L-funkcje Dirichleta. Przypuszcza się, że klasa Selberga szeregu zachowuje się zgodnie z Uogólnioną Hipotezą Riemanna. Szereg jest nazwany ku czci Petera Gustava Lejeune'a Dirichleta.

Zastosowanie w kombinatoryce[edytuj | edytuj kod]

Szereg Dirichleta może zostać wykorzystany jako funkcja tworząca do zliczania ważonych zbiorów obiektów z uwzględnieniem wag.

Załóżmy, że A jest zbiorem z funkcją w: AN przypisującą wagę każdemu elementowi A, załóżmy także, że włóknem nad każdą liczbą naturalną w tej wadze jest zbiór skończony. Nazwijmy taką parę (A,w) zbiorem ważonym. Załóżmy dodatkowo, że an jest liczbą elementów A o wadze n. Wówczas możemy zdefiniować formalny szereg Dirichleta będący funkcją tworzącą dla A, z uwzględnieniem w, w następujący sposób:

Zauważmy, że jeśli A i B są rozłącznymi podzbiorami pewnego zbioru ważonego (U,w), to szereg Dirichleta dla ich sumy mnogościowej jest równy sumie ich szeregów Dirichleta:

Ponadto, jeśli (A,u) i (B,v) są dwoma zbiorami ważonymi i zdefiniujemy funkcję wagi w: A × BN jako

dla każdego a należącego do A i dla każdego b należącego do B, otrzymamy następujący rozkład szeregu Dirichleta z iloczynu kartezjańskiego:

Wynika to bezpośrednio z faktu, że

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ​ISBN 978-0-387-90163-3​, MR 0434929, Zbl 0335.10001
  • Hardy, G.H.; Riesz, Marcel (1915). The general theory of Dirichlet's series. Cambridge Tracts in Mathematics Cambridge University Press.
  • The general theory of Dirichlet's series by G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. {Wznowienie} Cornell University Library Digital Collections
  • Gould, Henry W.; Shonhiwa, Temba (2008). A catalogue of interesting Dirichlet series. Miss. J. Math.
  • Mathar, Richard J. (2011). Survey of Dirichlet series of multiplicative arithmetic functions. arXiv:1106.4038 math.NT.
  • Tenenbaum, Gérald (1995). Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics Cambridge University Press. ​ISBN 0-521-41261-7​. Zbl 0831.11001.