Szereg Fouriera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Szereg Fourieraszereg pozwalający rozłożyć funkcję okresową, spełniającą warunki Dirichleta, na sumę funkcji trygonometrycznych. Nauka na temat szeregów Fouriera jest gałęzią analizy Fouriera. Szeregi Fouriera zostały wprowadzone w 1807 roku przez Josepha Fouriera w celu rozwiązania równania ciepła dla metalowej płyty. Doprowadziło to jednak do przewrotu w matematyce i wprowadzenia wielu nowych teorii. Dziś mają one wielkie znaczenie między innymi w fizyce, teorii drgań, przetwarzaniu sygnałów, obrazów (kompresja jpeg), a nawet w muzyce (kompresja mp3)[1].

Definicja[edytuj]

Niech dana będzie funkcja okresowa o okresie , bezwzględnie całkowalna w przedziale .

Trygonometrycznym szeregiem Fouriera funkcji f nazywamy szereg funkcyjny następującej postaci:

(1.1)

O współczynnikach określonych następującymi wzorami:

(1.2)
(1.3)

Powyższe wzory po raz pierwszy ujrzały światło dzienne w pracach Jeana-Baptiste Josepha Fouriera. Niemniej jednak po raz pierwszy wyprowadził je Leonhard Euler (prac na ten temat nie opublikował). Z tego względu wzory te noszą nazwę wzorów Eulera-Fouriera.

W fizyce i technice często spotykane jest następujące oznaczenie (T oznacza okres funkcji) . nosi nazwę pulsacji lub częstości kołowej. Stosując takie oznaczenie powyższe wzory przyjmują postać:

(1.1a)
(1.2a)
(1.3a)
Aproksymacja fali prostokątnej szeregiem Fouriera
Aproksymacja fali piłokształtnej szeregiem Fouriera
Aproksymacja fali trójkątnej szeregiem Fouriera

Własności[edytuj]

Poniższe twierdzenia dot. rozwijalności funkcji w szereg Fouriera. W dalszym ciągu zakładamy, że okres funkcji wynosi 2T.

Lemat I (całki pomocnicze)[edytuj]

n jest liczbą całkowitą

m, n są liczbami naturalnymi

Lemat II[edytuj]

Dowód[edytuj]

więc mamy (biorąc cześć rzeczywistą i stosując podstawowe wzory trygonometryczne):

q. e. d.

Lemat III[edytuj]

 Osobny artykuł: Lemat Riemanna.

Jeżeli f jest funkcją ciągłą w przedziale [a, b] z wyjątkiem co najwyżej skończonej ilości punktów i bezwzględnie całkowalną w tym przedziale to

Twierdzenie (Eulera–Fouriera)[edytuj]

Jeżeli szereg o postaci (1.1) jest jednostajnie zbieżny do funkcji f to współczynniki ak, bk wyrażają się wzorami (1.2), (1.3).

Dowód[edytuj]

Mnożąc powyższą równość przez , całkując szereg w granicach od -T do T (uwzględniając zbieżność jednostajną szeregu stosujemy twierdzenie o całkowaniu szeregu wyraz po wyrazie) otrzymujemy:

Na mocy lematu I zerują się wszystkie całki po prawej stronie takie że nk (gdy n = 0 zeruje się cała suma uogólniona). W związku z tym mamy:

Stąd otrzymujemy wzór (1.2).

Dowód wzoru (1.3) przebiega analogicznie (tym razem mnożymy przez )

Twierdzenie (o rozwijalności funkcji w szereg Fouriera)[edytuj]

Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w punkcie , to jej szereg Fouriera jest zbieżny do wartości funkcji w tym punkcie. Innymi słowy: w punktach różniczkowalności funkcję da się rozwinąć w szereg Fouriera.

Dowód[edytuj]

Niech będzie punktem, w którym funkcja f(x) jest różniczkowalna; mamy:

Suma cząstkowa szeregu Fouriera przedstawia się w następujący sposób:

Stosując do tego wyrażenia lemat II, otrzymujemy następujący wzór:

Funkcja podcałkowa w powyższym wzorze jest funkcją o okresie 2T, możemy więc dokonać przesunięcia w dziedzinie i otrzymujemy:

Funkcja tożsamościowo równa 1 na całym zbiorze liczb rzeczywistych jest rozwijalna w szereg Fouriera w każdym punkcie, kładąc f(x) = 1 mamy:

Mnożąc powyższą równość przez i odejmując obustronnie od równania przedstawiającego sumę cząstkową szeregu, otrzymujemy:

(*)

Rozważmy następującą granicę:

przy obliczaniu której korzystamy z różniczkowalności funkcji f(x) w punkcie

Możemy określić następującą funkcję:

Mając na uwadze fakt, iż zmiana skończonej ilości wartości funkcji podcałkowej nie wpływa na wartość całki, wzór (*) możemy zapisać w postaci:

Funkcja podcałkowa spełnia założenia lematu Riemanna, tak więc:

czyli:

q. e. d.

Przypisy

Linki zewnętrzne[edytuj]