Szereg Laurenta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Obszar zbieżności szeregu Laurenta.

Szereg Laurenta funkcji zespolonej to reprezentacja tej funkcji w postaci szeregu potęgowego, w którym występują również składniki o wykładniku ujemnym. Rozwinięcia tego używa się, gdy funkcji nie można rozwinąć w szereg Taylora. Nazwa szeregu pochodzi od nazwiska Pierre Alphonse Laurenta, który opublikował go w 1843 roku.

Jeżeli funkcję możemy zapisać jako sumę funkcji oraz , takich że można je rozwinąć w zbieżne szeregi na pewnym obszarze D:

(część regularna)

(część osobliwa)

to funkcję przedstawiamy w postaci

Reprezentację taką nazywamy szeregiem Laurenta funkcji . Część regularna jest zbieżna w kole , a część osobliwa na zewnątrz koła gdzie

Szereg Laurenta jest zbieżny w pierścieniu . Jeżeli funkcja jest analityczna w tym pierścieniu, to daje się przedstawić w postaci szeregu Laurenta a współczynniki wyrażają się, za pomocą całki krzywoliniowej wzorem

gdzie jest dowolną krzywą zamkniętą położoną w obszarze zbieżności i zorientowaną dodatnio względem swego wnętrza (obiegającą punkt jednokrotnie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).

Przykład rozwinięcia w szereg Laurenta[edytuj | edytuj kod]

Korzystamy z rozwinięcia w szereg funkcji eksponencjalnej:

Pierwsze trzy składniki stanowią część regularną szeregu, kolejne składają się na część osobliwą.