Szereg Laurenta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Obszar zbieżności szeregu Laurenta.

Szereg Laurenta funkcji zespolonej f(z) to reprezentacja tej funkcji w postaci szeregu potęgowego, w którym występują również składniki o wykładniku ujemnym. Rozwinięcia tego używa się, gdy funkcji nie można rozwinąć w szereg Taylora. Nazwa szeregu pochodzi od nazwiska Pierre Alphonse Laurenta, który opublikował go w 1843 roku.

Jeżeli funkcję f(z) możemy zapisać jako sumę funkcji φ(z) oraz ψ(z), takich że można je rozwinąć w zbieżne szeregi na pewnym obszarze D:

(część regularna)

(część osobliwa)

to funkcję f(z) przedstawiamy w postaci

Reprezentację taką nazywamy szeregiem Laurenta funkcji f(z)=φ(z)+ψ(z). Część regularna jest zbieżna w kole , a część osobliwa na zewnątrz koła gdzie

Szereg Laurenta jest zbieżny w pierścieniu . Jeżeli funkcja f(z) jest analityczna w tym pierścieniu, to daje się przedstawić w postaci szeregu Laurenta a współczynniki wyrażają się, za pomocą całki krzywoliniowej wzorem

gdzie γ jest dowolną krzywą zamkniętą położoną w obszarze zbieżności i zorientowaną dodatnio względem swego wnętrza (obiegającą punkt c jednokrotnie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).

Przykład rozwinięcia w szereg Laurenta[edytuj]

Korzystamy z rozwinięcia w szereg funkcji eksponencjalnej:

=

Pierwsze 3 składniki stanowią część regularną szeregu, kolejne składają się na część osobliwą.