Szereg Neumanna

Szereg Neumanna – szereg będący odwrotnością rezolwenty w przestrzeni unormowanej. Dla operatora $T\colon X\to X$ na przestrzeni unormowanej $X$ oznaczamy przez $T^{0}={\text{id}}$ oraz $T^{k+1}=T^{k}\circ T$ jego złożenie. Wtedy szeregiem Neumanna nazywamy szereg

$\sum _{k=0}^{\infty }T^{k}$

zbieżny w normie operatorowej.

Szereg nosi nazwisko Carla Neumanna, w którego pracy pojawił się po raz pierwszy w 1877 r. w kontekście teorii potencjału. Szereg Neumanna jest uogólnieniem szeregu potęgowego.

Własności

Jeżeli $X$ jest przestrzenią Banacha, $\|\cdot \|_{X}$ odpowiadającą normą operatorową oraz $\|T\|_{X}<1$, to oznaczając przez $S_{n}$ ciąg sum częściowych,

$\|S_{m}-S_{n}\|_{X}=\left\|\sum _{k=n+1}^{m}T^{k}\right\|_{X}\leqslant \sum _{k=n+1}^{m}\|T^{k}\|_{X}\leqslant \sum _{k=n+1}^{m}\|T\|_{X}^{k}\leqslant \sum _{k=n+1}^{\infty }\|T\|_{X}^{k}={\frac {\|T\|_{X}^{n+1}}{1-\|T\|_{X}}}$,

dlatego $S_{n}$ jest ciągiem Cauchy'ego, więc jest zbieżny. Ponadto, wtedy

$({\text{id}}-T)S_{n}=\sum _{k=0}^{n}T^{k}-\sum _{k=1}^{n+1}T^{k}={\text{id}}-T^{n+1}$,

co dąży do operatora identycznościowego, gdy $n\to \infty$ oraz

$S_{n}({\text{id}}-T)=\sum _{k=0}^{n}T^{k}-\sum _{k=1}^{n+1}T^{k}={\text{id}}-T^{n+1}$,

więc szereg Neumanna jest równy $({\text{id}}-T)^{-1}$. W ogólności, jeśli

$R_{\lambda }(T)=(T-\lambda {\text{id}})^{-1}$

dla $\lambda \in \rho (T)$ (poza spektrum $T$) jest rezolwentą operatora $T$, to szereg Neumanna

$\sum _{k=0}^{\infty }\lambda ^{k}T^{k}$

jest równy $R_{\lambda }(T)$.

Korzystając z szeregu Neumanna można wykazać przy powyższych założeniach, że

$\|R_{\lambda }(T)\|_{X}\leqslant \sum _{k=0}^{\infty }|\lambda |^{k}\|T\|_{X}^{k}={\frac {1}{1-|\lambda |\|T\|_{X}}}$.

Analogicznie można wykazać, że

$\|R_{\lambda }(T)-{\text{id}}\|_{X}\leqslant \sum _{k=1}^{\infty }|\lambda |^{k}\|T^{k}\|_{X}\leqslant {\frac {|\lambda |\|T\|_{X}}{1-|\lambda |\|T\|_{X}}}$.

Linki zewnętrzne

• Neumann series (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-15].