Szereg funkcyjny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Szereg funkcyjnyszereg, którego wyrazami są funkcje o wspólnej dziedzinie. Dla każdego punktu dziedziny suma szeregu wartości funkcji w tym punkcie (o ile istnieje) jest sumą zwykłego szeregu liczbowego. W zastosowaniach najczęściej pojawiają się szeregi funkcyjne zmiennej rzeczywistej lub zespolonej o wartościach rzeczywistych lub zespolonych, jednakże pojęcie szeregu funkcyjnego ma sens także w przypadku funkcji o wartościach w ogólnych przestrzeniach funkcyjnych (np. przestrzeniach Banacha).

Szeregi funkcyjne pojawiają się w naturalny sposób w analizie matematycznej i fizyce. Na przykład:

Podstawowym przykładem szeregu funkcyjnego jest tzw. szereg geometryczny, czyli szereg postaci

Jest on zbieżny dla każdego -1<x<1 do (sumy):

Jeżeli przyjąć dla jak wyżej, to powyższy szereg można zapisać w postaci

który jest już przykładem szeregu funkcyjnego.

Zbieżność[edytuj]

Niech będzie przestrzeń unormowaną oraz będzie ciągiem funkcji określonych na pewnym zbiorze i o wartościach w przestrzeni .

Zbieżność punktowa[edytuj]

 Osobny artykuł: zbieżność punktowa.

Mówi się, że szereg jest zbieżny punktowo w zbiorze gdy dla każdego zbieżny jest szereg Innymi słowy wymaga się, by zbieżny był ciąg sum częściowych Określoną w ten sposób funkcję nazywa się sumą szeregu funkcyjnego .

Zbieżność jednostajna[edytuj]

 Osobny artykuł: zbieżność jednostajna.

Szereg jest zbieżny jednostajnie wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg sum częściowych jest zbieżny jednostajnie jako ciąg funkcyjny.

Dokładniej, szereg jest zbieżny jednostajnie w zbiorze do funkcji gdy od pewnego wyrazu norma sumy częściowej szeregu jest dowolnie mała dla wszystkich tzn. gdy dla dowolnej liczby istnieje taka liczba naturalna że dla wszystkich i dla wszystkich zachodzi nierówność

Do kryteriów zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych zaliczają się

Własności sumy szeregu zbieżnego jednostajnie - twierdzenie Weierstrassa[edytuj]

Niech dany będzie szereg funkcyjny zbieżny jednostajnie w przedziale (a, b) do funkcji f. Wówczas:

  • jeżeli wszystkie wyrazy ciągu (fn) są ciągłe, to jego suma f też jest funkcją ciągłą;
  • jeżeli (fn) jest ciągiem funkcji różniczkowalnych mającym w tym przedziale ciągłe pochodne oraz szereg jest zbieżny jednostajnie, to funkcja f jest różniczkowalna oraz
dla x ∈ (a, b).
  • jeżeli ponadto wyrazy ciągu (fn) są funkcjami ciągłymi, określonymi w przedziale [a, b] oraz szereg jest zbieżny jednostajnie w tym przedziale, to
Przykład[edytuj]

Szereg

jest zbieżny punktowo do funkcji w przedziale (-1, 1) jednak nie jest zbieżny jednostajnie; mimo to suma szeregu jest funkcją różniczkowalną (a zatem i ciągłą) w zadanym przedziale.

Bibliografia[edytuj]