Szereg funkcyjny

Szereg funkcyjny – szereg, którego wyrazami są funkcje o wspólnej dziedzinie. Dla każdego punktu dziedziny suma szeregu wartości funkcji w tym punkcie (o ile istnieje) jest sumą zwykłego szeregu liczbowego. W zastosowaniach najczęściej pojawiają się szeregi funkcyjne zmiennej rzeczywistej lub zespolonej o wartościach rzeczywistych lub zespolonych, jednakże pojęcie szeregu funkcyjnego ma sens także w przypadku funkcji o wartościach w ogólnych przestrzeniach funkcyjnych (np. przestrzeniach Banacha).

Szeregi funkcyjne pojawiają się w naturalny sposób w analizie matematycznej i fizyce. Na przykład:

• szeregi Fouriera są narzędziem w badaniu możliwości przedstawienia skomplikowanej funkcji (zwykle funkcji okresowej – w fizyce i technice – ruchu drgającego) przy pomocy szeregu prostszych funkcji okresowych typu sinus i cosinus – tzw. harmonik (zob. analiza harmoniczna);
• szeregi Taylora służą do przedstawiania funkcji stosunkowo skomplikowanych przy pomocy szeregów o wyrazach będących wielomianami (czyli o dużo prostszej naturze) zależnych od kolejnych pochodnych (zob. wzór Taylora, analiza numeryczna);
• szeregi Laurenta są narzędziem podobnym do szeregów Taylora, służącym do rozwijania funkcji zmiennej zespolonej w szeregi potęgowe o wykładnikach całkowitych. Rozkład funkcji w szereg Laurenta niesie dodatkowe informacje o regularności samej funkcji (zob. analiza zespolona).

Podstawowym przykładem szeregu funkcyjnego jest tzw. szereg geometryczny, czyli szereg postaci

$\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\dots$

Jest on zbieżny dla każdego $-1<x<1$ do (sumy):

${\frac {1}{1-x}}.$

Jeżeli przyjąć $f_{n}(x)=x^{n}$ dla $x$ jak wyżej, to powyższy szereg można zapisać w postaci

$\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x),$

który jest już przykładem szeregu funkcyjnego.

Zbieżność

Niech $Y$ będzie przestrzenią unormowaną oraz $(f_{n})$ będzie ciągiem funkcji określonych na pewnym zbiorze $X$ i o wartościach w przestrzeni $Y.$

Zbieżność punktowa

Mówi się, że szereg $\sum f_{n}(x)$ jest zbieżny punktowo w zbiorze $X,$ gdy dla każdego $x_{0}\in X$ zbieżny jest szereg $\sum f_{n}(x_{0}).$ Innymi słowy wymaga się, by zbieżny był ciąg $(s_{N})_{N\in \mathbb {N} }$ sum częściowych $s_{N}=f_{1}(x_{0})+\dots +f_{N}(x_{0}).$ Określoną w ten sposób funkcję $f(x)=\sum f_{n}(x)$ nazywa się sumą szeregu funkcyjnego $\sum f_{n}(x).$

Zbieżność jednostajna

Szereg $\sum f_{n}(x)$ jest zbieżny jednostajnie wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg $(s_{N})_{N\in \mathbb {N} }$ sum częściowych $s_{N}=f_{1}+\dots +f_{N}$ jest zbieżny jednostajnie jako ciąg funkcyjny.

Dokładniej, szereg $\sum f_{n}(x)$ jest zbieżny jednostajnie w zbiorze $X$ do funkcji $f(x),$ gdy od pewnego wyrazu norma sumy częściowej szeregu $\sum {\big (}f_{n}(x)-f(x){\big )}$ jest dowolnie mała dla wszystkich $x\in X,$ tzn. gdy dla dowolnej liczby $\varepsilon >0$ istnieje taka liczba naturalna $n_{\varepsilon },$ że dla wszystkich $k>n_{\varepsilon }$ i dla wszystkich $x\in X$ zachodzi nierówność

$\left\|\left(\sum _{n=1}^{k}f_{n}(x)\right)-f(x)\right\|<\varepsilon .$

Do kryteriów zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych zaliczają się

• kryterium Abela,
• kryterium Dirichleta,
• kryterium Weierstrassa.

Własności sumy szeregu zbieżnego jednostajnie – twierdzenie Weierstrassa

Niech dany będzie szereg funkcyjny $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$ zbieżny jednostajnie w przedziale $(a,b)$ do funkcji $f.$ Wówczas:

• jeżeli wszystkie wyrazy ciągu $(f_{n})$ są ciągłe, to jego suma $f$ też jest funkcją ciągłą;
• jeżeli $(f_{n})$ jest ciągiem funkcji różniczkowalnych mającym w tym przedziale ciągłe pochodne oraz szereg $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}'(x)$ jest zbieżny jednostajnie, to funkcja $f$ jest różniczkowalna oraz

$f'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}'(x)$

dla $x\in (a,b).$

• jeżeli ponadto wyrazy ciągu $(f_{n})$ są funkcjami ciągłymi, określonymi w przedziale $[a,b]$ oraz szereg $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$ jest zbieżny jednostajnie w tym przedziale, to

$\int _{a}^{b}f(x)\,{\mbox{d}}x=\int _{a}^{b}\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)\,{\mbox{d}}x=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,{\mbox{d}}x.$

Przykład

Szereg

$1+x+x^{2}+x^{3}+\dots$

jest zbieżny punktowo do funkcji $f(x)={\tfrac {1}{1-x}}$ w przedziale $(-1,1),$ jednak nie jest zbieżny jednostajnie; mimo to suma szeregu jest funkcją różniczkowalną (a zatem i ciągłą) w zadanym przedziale.

Bibliografia

• Grigorij M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. czwarte. T. II. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966, s. 375–377.