Szereg harmoniczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: artykuł dotyczący muzyki.

Szereg harmonicznyszereg liczbowy postaci:

Jego nazwa pochodzi od długości fal kolejnych alikwotów drgającej struny, które są proporcjonalne do 1, ½, ⅓, ¼, …. Każdy wyraz szeregu, od drugiego włącznie, jest średnią harmoniczną dwóch wyrazów bezpośrednio z nim sąsiadujących.

Rozbieżność szeregu harmonicznego[edytuj]

Szereg harmoniczny jest rozbieżny do nieskończoności

.

Dowód Mikołaja z Oresme[edytuj]

Poniższy dowód rozbieżności szeregu harmonicznego pochodzi od Mikołaja z Oresme i jest jednym z ważnych osiągnięć średniowiecznej matematyki:

.

Ponieważ suma liczb w każdym nawiasie wynosi ½, ciąg sum częściowych szeregu nie ma granicy skończonej.

Dowód Bradleya[1][edytuj]

Dla dowolnej liczby spełniona jest nierówność , a więc:

.

Ciąg sum częściowych można więc oszacować:

Ponieważ , więc również .

Uogólnienia[edytuj]

Tak zwany uogólniony szereg harmoniczny

jest rozbieżny przy dowolnych wartościach

Euler udowodnił, że również szereg odwrotności liczb pierwszych jest rozbieżny.

Liczby harmoniczne[edytuj]

Kolejne sumy częściowe szeregu harmonicznego

,

tak zwane liczby harmoniczne, rosną bardzo powoli, istnieje bowiem następującą równość:

,

gdzie = 0,5772156649… jest tzw. stałą Eulera. Oznacza to, że szereg harmoniczny rośnie tak szybko jak funkcja logarytm naturalny. Dokładniejsze oszacowanie liczby jest dane wzorem

.

Szeregi harmoniczne wyższych rzędów[edytuj]

Szeregiem harmonicznym rzędu α nazywa się szereg postaci:

Szereg ten jest zbieżny dla i rozbieżny w przeciwnym przypadku. Jeżeli dopuści się, by α przyjmowało wartości zespolone i każdej liczbie α, dla której szereg jest zbieżny, przypisze się jego sumę, to tak utworzona funkcja nosi nazwę funkcji dzeta ς Riemanna:

Funkcja ta ma podstawowe znaczenie w teorii liczb. Związana jest z nią słynna i nierozstrzygnięta do dzisiaj hipoteza Riemanna.

Ponadto naprzemienny szereg harmoniczny jest zbieżny, jednak tylko warunkowo

.

Wynika to na przykład z rozwinięcia funkcji logarytm naturalny w szereg Taylora.

Natomiast szereg:

gdzie to zmienne losowe przyjmujące z prawdopodobieństwem ½ wartości 1 i -1, jest zbieżny prawie na pewno. Wynika to z twierdzenia Kołmogorowa o trzech szeregach, bo wartości bezwględne zmiennych są wspólnie ograniczone, wartości oczekiwane równe 0, a wariancje równe , co jest szeregiem zbieżnym.

Przypisy

  1. D.M. Bradley, A note on the divergence of the harmonic series, American Mathematical Monthly, 107 (2000), 651.