Szereg harmoniczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: artykuł dotyczący muzyki.

Szereg harmonicznyszereg liczbowy postaci:

[1]

Kolejne sumy częściowe szeregu harmonicznego

nazywają się liczbami harmonicznymi.

Nazwa szeregu pochodzi stąd, że każdy wyraz szeregu od drugiego począwszy jest średnią harmoniczną dwóch wyrazów bezpośrednio z nim sąsiadujących[1]:

Łatwo też sprawdzić, że każdy wyraz od drugiego począwszy jest równy połowie średniej harmonicznej wszystkich wcześniejszych wyrazów.

Rozbieżność szeregu harmonicznego[edytuj | edytuj kod]

Szereg harmoniczny jest rozbieżny do nieskończoności

Dowód Mikołaja z Oresme[edytuj | edytuj kod]

Pomysł poniższego dowodu rozbieżności szeregu harmonicznego pochodzi od Mikołaja z Oresme i jest jednym z ważniejszych osiągnięć średniowiecznej matematyki.

Kolejne składniki od drugiego począwszy grupujemy w nawiasy, przy czym każda następna grupa ma dwa razy więcej składników niż poprzednia.

Ponieważ

i ogólnie

więc

Oznacza to, że ciąg sum częściowych jest rozbieżny do [2].

Dowód Pietra Mengolego[edytuj | edytuj kod]

W 1650 w pracy Novae quadraturae arithmeticae seu de additione fractionum dowód rozbieżności podał Pietro Mengoli[3].

Grupujemy składniki szeregu w nawiasy po trzy składniki od drugiego począwszy:

Ponieważ

i ogólnie

więc

co w efekcie daje

Oznacza to, że ciąg sum częściowych nie spełnia warunku Cauchy’ego; nie jest więc zbieżny.

Dowód Bradleya[edytuj | edytuj kod]

Bradley podał w roku 2000[4] następujący dowód rozbieżności szeregu harmonicznego.

Dla dowolnej liczby spełniona jest nierówność

a stąd

Ciąg sum częściowych można więc oszacować:

Ponieważ

zachodzi

Ciąg liczb harmonicznych[edytuj | edytuj kod]

Ciąg liczb harmonicznych jest rozbieżny do ale rośnie powoli a jest wzrost można opisać zależnością:

gdzie = 0,5772156649… jest tzw. stałą Eulera. Oznacza to, że szereg harmoniczny rośnie tak szybko jak funkcja logarytm naturalny. Dokładniejsze oszacowanie liczby jest dane wzorem

Niektóre uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Uogólniony szereg harmoniczny postaci

jest rozbieżny przy dowolnych wartościach

Euler udowodnił rozbieżność szeregu

gdzie jest -tą liczbą pierwszą.

Szeregi harmoniczne wyższych rzędów[edytuj | edytuj kod]

Szeregiem harmonicznym rzędu α nazywa się szereg postaci:

[1]

Szereg ten jest zbieżny dla [5] i rozbieżny w przeciwnym przypadku. Jeżeli dopuści się, by przyjmowało wartości zespolone i każdej liczbie dla której szereg jest zbieżny, przypisze się jego sumę, to tak utworzona funkcja nosi nazwę funkcji dzeta Riemanna:

Funkcja ta ma podstawowe znaczenie w teorii liczb. Związana jest z nią słynna i nierozstrzygnięta do dzisiaj hipoteza Riemanna.

Ponadto, szereg naprzemienny

jest zbieżny, jednak tylko warunkowo. Wynika to na przykład z rozwinięcia funkcji logarytm naturalny w szereg Taylora.

Natomiast szereg:

gdzie to zmienne losowe przyjmujące z prawdopodobieństwem ½ wartości 1 i -1, jest zbieżny prawie na pewno. Wynika to z twierdzenia Kołmogorowa o trzech szeregach, bo wartości bezwzględne zmiennych są wspólnie ograniczone, wartości oczekiwane równe 0, a wariancje równe co jest szeregiem zbieżnym.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b c Matematyka, Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990 (Encyklopedia szkolna), s. 277, ISBN 83-02-02551-8.
  2. Fichtenholz 1966 ↓, s. 226.
  3. Krzysztof Maślanka, Pietro Mengoli i szeregi liczbowe, „Kwartalnik Historii Nauki i Techniki”, 49 (1), 2004, s. 47–64 [dostęp 2019-02-08] (pol.).
  4. D.M. Bradley, A note on the divergence of the harmonic series, „American Mathematical Monthly”, 107 (2000), 651.
  5. Fichtenholz 1966 ↓, s. 227.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]