Tłumienie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Wykładniczy zanik drgań słabo tłumionych rozchodzących się w strunie

Tłumienie (gaśnięcie) drgań – zmniejszanie się amplitudy drgań swobodnych wraz z upływem czasu, związane ze stratami energii układu drgającego[1]. Tłumienie obserwowane jest zarówno w układach mechanicznych jak elektrycznych. W przypadku fal biegnących tłumienie prowadzi do zmniejszania się amplitudy fali wraz ze wzrostem odległości od źródła, co wynika z rozpraszania energii. Za pomocą pojęcia tłumieniu drgań można też opisać przejście atomu lub cząsteczki ze stanu wzbudzonego do niższego stanu energetycznego, połączone z wypromieniowaniem kwantu energii promieniowania elektromagnetycznego.

Równanie ruchu tłumionego oscylatora harmonicznego[edytuj | edytuj kod]

Równanie ruchu tłumionego oscylatora harmonicznego ma postać:

Równanie to jest zmodyfikowanym równaniem drgań swobodnego oscylatora harmonicznego – dodatkowy człon

reprezentuje siłę tłumiącą o której zakłada się, że jest przeciwnie skierowana do prędkości drgającego ciała i do niej proporcjonalna; – współczynnik proporcjonalności – im większy, tym większe jest tłumienie drgań.

Rozwiązanie równania ruchu tłumionego oscylatora harmonicznego[edytuj | edytuj kod]

Równanie oscylatora tłumionego jest równaniem różniczkowym zwyczajnym II rzędu. Równanie to należy do dynamicznych równań ruchu.

Przyjmując oznaczenia:

współczynnik tłumienia,
częstość kołowa oscylatora nietłumionego,
częstość drgań tłumionych,

równanie ruchu oscylatora tłumionego przyjmie postać:

Metoda rozwiązania tego typu równań różniczkowych polega na założeniu rozwiązania w postaci wykładniczej, zależnej od dwóch niewiadomych:

gdzie – nieznana amplituda drgań, – nieznana liczba zespolona; podstawiając to rozwiązanie do równania oscylatora otrzymuje się równanie kwadratowe:

Równanie powyższe ma dwa pierwiastki i (por. rozwiązania równania kwadratowego):

Równanie ruchu oscylatora można teraz przedstawić jako sumę dwóch rozwiązań, zawierających pierwiastki i [2]

gdzie i – stałe określone przez warunki początkowe układu, takie że:

gdzie:

– wychylenie początkowe,
– prędkość początkowa.

Funkcja jest funkcją wykładniczą, gdy wykładniki i są rzeczywiste, co zachodzi, gdy staje się zaś funkcją oscylacyjną, gdy i są urojone, co zachodzi, gdy Podział ten odpowiada opisanym niżej sytuacjom fizycznym.

Bezwymiarowy współczynnik tłumienia. Klasyfikacja tłumień[edytuj | edytuj kod]

Do opisu zachowania się tłumionego układu drgającego definiuje się bezwymiarowy współczynnik tłumienia (zeta):

Wykresy ruchu układu drgającego o prędkości początkowej równej zero, odchylonego maksymalnie z położenia równowagi, dla różnych współczynników tłumienia

Wartość tłumienia określa zachowanie się układu. Wyróżnia się:

  • tłumienie silne – układ nie wykonuje oscylacji, a podąża według zaniku wykładniczego do równowagi; im większa jest wartość tłumienia tym układ wolniej powraca do równowagi,
  • tłumienie krytyczne – układ powraca do równowagi bez oscylacji i jest to najszybsze dążenie do równowagi bez oscylacji,
  • tłumienie słabe – układ oscyluje ze zmniejszającą się wykładniczo amplitudą i częstością mniejszą od częstości układu nietłumionego; wzrost tłumienia powoduje szybszy zanik amplitudy oraz zmniejszenie częstości drgań układu,
  • brak tłumienia – układ wykonuje drgania o niezmieniającej się amplitudzie w swojej naturalnej częstotliwości rezonansowej

Tłumienie silne[edytuj | edytuj kod]

Przy silnym tłumieniu

Rozwiązanie równania ruchu w postać:

Wykładniki funkcji eksponencjalnych są różnymi liczbami rzeczywistymi i dla czasu większego od zera są ujemne. Oznacza to, że przebieg jest sumą dwóch zaników wykładniczych, o różnym czasie połowicznego zaniku. Zależne od położenia i prędkości początkowej współczynniki i decydują o charakterze zaniku. Ze względu na to, że wykładnik w drugim członie jest bezwzględnie większy, po pewnym czasie zależnym od położenia i prędkości początkowej, będzie on znacznie mniejszy od pierwszego, wówczas można go pominąć a zanik będzie wykładniczy i określony wzorem:

Drgania wymuszone, silnie tłumione[edytuj | edytuj kod]

Zależność amplitudy drgań wymuszonych stacjonarnych od częstotliwości dla różnych współczynników tłumienia

Układ o silnym tłumieniu pobudzany harmoniczną siłą określoną wzorem:

W stanie stacjonarnym wykonuje drgania o częstości pobudzania, przesunięte w fazie względem drgań pobudzających, opisane wzorami[3]:

gdzie amplituda drgań A jest równa:

a przesunięcie fazowe

Dla danego oscylatora amplituda drgań jest największa gdy częstotliwość pobudzania jest równa częstotliwości drgań własnych oscylatora. Dla tych drgań dlatego w pobliżu rezonansu amplituda drgań nie osiąga dużej wartości i nie zależy silnie od częstości wymuszającej.

Tłumienie krytyczne[edytuj | edytuj kod]

Tłumienie krytyczne zachodzi dla co odpowiada Jest to sytuacja graniczna między układem oscylującym a nieoscylującym.

Układ mający w czasie początkowym prędkość określoną poniższym wzorem, wraca do położenia równowagi w najkrótszym czasie, nie przechodząc przez położenie równowagi. Rozwiązanie równania ruchu ma postać:

Prędkość przechodzenia układu do położenia równowagi:

Tłumienie lekko przetłumione[edytuj | edytuj kod]

Gdy oscylator jest przetłumiony, ale tłumienie jest niewiele większe od krytycznego i to rozwiązanie równania ruchu oscylatora można przybliżyć wzorem:

gdzie:

Przy dodatnim funkcja położenia ma miejsce zerowe tylko wtedy, gdy wtedy układ przejdzie tylko raz przez położenie równowagi, a po wychyleniu się w przeciwną stronę będzie nieskończenie długo dochodzić do punktu równowagi; przypadek zachodzi, gdy prędkość początkowa jest skierowana w stronę punktu równowagi i większa od Gdy prędkość jest równa wówczas znika drugi składnik i układ zachowuje się podobnie jak przy tłumieniu krytycznym, tj. podąża do punktu równowagi po krzywej zaniku wykładniczego.

Drgania wymuszone, lekko przetłumione[edytuj | edytuj kod]

Układ o tłumieniu zbliżonym do krytycznego jest pobudzany siłą harmoniczną określoną wzorem:

W stanie stacjonarnym układ wykonuje drgania harmoniczne opisane wzorem[4]:

gdzie:

Tłumienie słabe[edytuj | edytuj kod]

Słabe tłumienie zachodzi gdy

Układ wykonuje oscylacje, amplituda drgań zbiega wykładniczo do zera. Wielomian charakterystyczny ma pierwiastki zespolone. Rozwiązanie równania ruchu ma postać:

gdzie:

– początkowa faza drgań,
– amplituda początkowa.

Faza drgań i amplituda początkowa są parametrami opisującymi warunki początkowe.

– opisuje wykładniczy zanik amplitudy,
– opisuje oscylacje układu.

Częstość kołowa drgań układu jest mniejsza od częstości kołowej tego oscylatora bez tłumienia

Drgania wymuszone, słabo tłumione[edytuj | edytuj kod]

Układ o słabym tłumieniu pobudzany harmoniczną siłą określoną wzorem:

W stanie stacjonarnym wykonuje drgania o częstości pobudzania opisane wzorami[5]:

Amplituda drgań opisana jest wzorem:

Przesunięcie fazowe spełnia zależność:

Dla wymuszonych drgań słabo tłumionych dlatego w pobliżu rezonansu amplituda drgań osiąga dużą wartość i silnie zależy od częstości wymuszającej.

Tłumienie w telekomunikacji[edytuj | edytuj kod]

Tłumienie pojawia się, gdy podczas komunikacji sygnały przesyłane są w postaci fal rozchodzących się w medium, które je pochłania lub rozprasza powodując, że tylko część emitowanej w nadajniku energii dociera do odbiornika. Zarówno fale elektromagnetyczne przemieszczające się w powietrzu czy światłowodach, jak i sygnały elektryczne w kablach miedzianych ulegają pochłanianiu lub rozpraszaniu. Tłumienie zależy od parametrów medium oraz odległości między uczestnikami komunikacji.

Prócz stałego oddawania energii w postaci promieniowania, energia sygnału zużywana jest również na przemieszczanie go w medium. Sygnał jest najczęściej falą elektromagnetyczną, która w miarę poruszania się w nośniku zużywa własną energię do pokonywania jego oporów. Wynikiem tego jest nieustanne osłabianie amplitudy sygnału. Im dłuższy przewód, tym więcej oporów sygnał musi pokonać na swojej drodze. Opory te wytłumiają (osłabiają) stopniowo sygnał, tak że po przebyciu pewnej drogi dane niesione przez ów sygnał przestają być czytelne dla odbiorcy.

Tłumienie nie stanowi problemu w sieciach, w których kable są na tyle krótkie, że moc sygnału jest wystarczająca do tego, by dotrzeć do wszystkich przyłączonych do sieci urządzeń. Jeśli wymagane są dłuższe kable, można na nich zamontować wzmacniaki.

Jednym z podstawowych parametrów opisujących zdolność danego łącza do realizacji transmisji (kabel, światłowód, łącze bezprzewodowe) jest tłumienność. Wielkość ta określa spadek mocy sygnału przepływającego przez dane łącze transmisyjne.

 Osobny artykuł: Tłumienność.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. tłumienie drgań, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2023-03-08].
  2. Eric W. Weisstein, Damped Simple Harmonic Motion--Overdamping, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2017-11-27] (ang.).
  3. Eric W. Weisstein, Overdamped Simple Harmonic Motion, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2011-12-28] (ang.).
  4. Eric W. Weisstein, Critically Damped Simple Harmonic Motion, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2011-12-28] (ang.).
  5. Eric W. Weisstein, Underdamped Simple Harmonic Motion, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2011-12-28] (ang.).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]