Tensor metryczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
W tym artykule obowiązuje konwencja sumacyjna Einsteina.

Tensor metryczny jest to symetryczny tensor drugiego rzędu (dwuwymiarowy) opisujący związek danego układu współrzędnych z układem kartezjańskim. Jest on podstawowym pojęciem geometrii różniczkowej (oraz elektrodynamiki, teorii względności i innych teorii których językiem jest geometria różniczkowa), jego podstawowym zastosowaniem jest występowanie w iloczynie skalarnym dwóch wektorów (obowiązuje konwencja sumacyjna):

A \cdot B = g_{\mu\nu}A^{\mu}B^{\nu} = A^{\mu}B_{\mu}

gdzie:

g_{\mu\nu}tensor metryczny

A^{\mu} – wektor o współrzędnych kontrawariantnych

B_{\mu} – wektor o współrzędnych kowariantnych

Definicja tensora metrycznego[edytuj | edytuj kod]

Tensor metryczny można zdefiniować na dwa sposoby, albo za pomocą elementu liniowego, albo za pomocą iloczynu skalarnego. W artykule zostaną opisane oba te sposoby.

Pierwsza definicja tensora metrycznego[edytuj | edytuj kod]

Niech będą dane dwa układy współrzędnych w n-wymiarowej przestrzeni afinicznej:

Zdefiniujmy element liniowy jako[1]:

ds^{2} = (dx^{1})^{2} + \cdots + (dx^{n})^{2}=\sum_{i=1}^n(dx^{i})^{2}

Można przejść od jednego układu współrzędnych do drugiego za pomocą transformacji współrzędnych:

x^{i}=f^{i}(q^{1},...,q^{n})\overset{\mathrm{ozn}}{=}x^{i}(q^{1},...,q^{n}),\ i=1,2,...,n

Zakładając, że każda funkcja f^{i} ma ciągłe pochodne względem wszystkich swoich argumentów.

Korzystając ze wzoru na różniczkę zupełną otrzymuje się:

dx^{i} = \sum _{j=1}^{n} \frac{\partial x^{i}} {\partial q^{j} } dq^{j}

Wstawiając te różniczki do wzoru na element liniowy znajduje się:

ds^{2} = \sum_{i=1}^n(dx^{i})^{2}=\sum_{i=1}^n(\sum _{j=1}^{n} \frac{\partial x^{i}} {\partial q^{j} } dq^{j})^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n} \frac{\partial x^{i}} {\partial q^{j} } \frac{\partial x^{i}} {\partial q^{k} } dq^{j} dq^{k}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}\sum _{i=1}^{n} \frac{\partial x^{i}} {\partial q^{j} } \frac{\partial x^{i}} {\partial q^{k} } dq^{j} dq^{k}

Można teraz wprowadzić oznaczenie:

g_{jk} = \sum _{i=1}^{n} \frac{\partial x^{i}} {\partial q^{j} } \frac{\partial x^{i}} {\partial q^{k} }

Wyrażenie to nazywane jest tensorem metrycznym[2]. Za jego pomocą można zapisać wzór na element liniowy w postaci (zmieniając nazwy indeksów sumacyjnych):

ds^{2}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}g_{ij}dq^{i}dq^{j}

lub też przyjmując konwencję sumacyjną Einsteina i oznaczając współrzędne przez x^{i} zamiast przez q^{i} jako:

ds^{2}=g_{ij}dx^idx^j

Należy zwrócić uwagę na to, że wzoru:

ds^{2} =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n} \frac{\partial x^{i}} {\partial q^{j} } \frac{\partial x^{i}} {\partial q^{k} } dq^{j} dq^{k}

Nie da się zapisać w konwencji sumacyjnej Einsteina, ponieważ wskaźniki i występują na tym samym poziomie[3].

Druga definicja tensora metrycznego[edytuj | edytuj kod]

Niech dana będzie n-wymiarowa przestrzeń afiniczna ze zdefiniowanym w niej iloczynem skalarnym, czyli przestrzeń euklidesowa. Iloczyn skalarny jest symetrycznym, dodatnio określonym funkcjonałem dwuliniowym[4] \varphi \colon V\times V \to K

Korzystając z liniowości funkcjonału \varphi można napisać:

\varphi(\mathbf{a},\mathbf{b})=\varphi(\sum_{i=1}^na^i\mathbf{e}_i,\ \sum_{j=1}^nb^j\mathbf{e}_j)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\varphi(\mathbf{e}_i,\ \mathbf{e}_j)a^ib^j=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ng_{ij}a^ib^j

Tensor dwukrotnie kowariantny g_{ij} to tensor metryczny przestrzeni euklidesowej[5]. Tensor metryczny pozwala obliczyć iloczyn skalarny dowolnych wektorów. W szczególności kwadrat długości wektora nieskończenie małego przesunięcia d\mathbf{x} wynosi:d\mathbf{x}^2=\varphi(d\mathbf{x},\ d\mathbf{x})=ds^2=\varphi(\sum_{i=1}^ndx^i\mathbf{e}_i,\ \sum_{j=1}^ndx^j\mathbf{e}_j)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\varphi(\mathbf{e}_i,\ \mathbf{e}_j)dx^idx^j=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ng_{ij}dx^idx^j

(gdzie dx^i to składowe wektora d\mathbf{x} w bazie współrzędnościowej \{\mathbf{e}_i\}_{i=1}^n, w której \mathbf{e}_i=\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial x^i}[4], a \mathbf{x} to wektor wodzący)

lub też, korzystając z konwencji sumacyjnej Einsteina:

ds^2=g_{ij}dx^idx^j.

Własności tensora metrycznego[edytuj | edytuj kod]

Symetryczność[edytuj | edytuj kod]

g_{ij} = g_{ji} Ze względu na definicję tensor metryczny jest zawsze symetryczny.

Symetria góra-dół[edytuj | edytuj kod]

g_{ij}^{-1} = g^{ji} Tensor kowariantno-kowariantny jest reprezentowany przez macierz odwrotną do macierzy tensora kontrawariantno-kontrawariantnego.

g^i_{\ j}=g^{ik}g_{kj}=g^{ki}g_{jk}=g^{\ i}_{j}

Obniżanie/podnoszenie wskaźników[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnego wektora a zachodzi:

a_{i} = g_{ij} a^{j} oraz a^{i} = g^{ij} a_{j}

"Diagonalność" i współczynniki Lamego[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli układ współrzędnych jest ortogonalny, to tensor metryczny dla tego układu jest diagonalny. Zdefiniować wtedy można współczynniki Lamego:

h^{2}_{i} = g_{ii} (nie ma sumowania)

Przykłady tensorów metrycznych[edytuj | edytuj kod]

Układ kartezjański (n-wymiarowy)[edytuj | edytuj kod]

W układzie kartezjańskim współrzędne kontra- i kowariantne są takie same, stąd otrzymujemy:

g_{ij} = \delta_{ij} = g^{ij}

gdzie

\delta_{ij}delta Kroneckera

Układ kartezjański 3D[edytuj | edytuj kod]

Macierz tensora metrycznego dla trójwymiarowego układu kartezjańskiego ma postać:

g_{ij} = g^{ji} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Można pokazać, że transformacja obrotu układu współrzędnych nie zmienia tensora metrycznego w układzie kartezjańskim.

Czasoprzestrzeń (4D)[edytuj | edytuj kod]

W czterowymiarowej czasoprzestrzeni stosuje się specjalny tensor metryczny, dla którego znak współrzędnej czasowej jest przeciwny niż znak współrzędnych przestrzennych. Najczęściej stosowanym tensorem metrycznym w przestrzeni Minkowskiego (szczególna teoria względności) jest tensor postaci:

g_{\mu \nu} = g^{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu} = \eta^{\mu \nu} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix}

W mechanice relatywistycznej przyjęło się oznaczać czterowektory za pomocą indeksów greckich – w celu odróżnienia od ich składowych przestrzennych, które nadal są oznaczane indeksami łacińskimi.

Warto zwrócić uwagę na fakt, że element liniowy w tej metryce to:

ds^{2} = c^{2}dt^{2} - dx^{2} - dy^{2} - dz^{2}

czyli interwał czasoprzestrzenny – punkt wyjścia teorii względności.

W ogólnej teorii względności rozważa się inne tensory metryczne opisujące zakrzywienie przestrzeni, np. dla metryki Schwarzschilda we współrzędnych (c t, r, \theta, \phi):

g_{\mu \nu} = \begin{pmatrix}
1 - \frac{r_s}{r} & 0 & 0 & 0 \\
0 & -\frac{1}{1-\frac{r_s}{r}} & 0 & 0 \\
0 & 0 & -r^2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -r^2 \sin^2 \theta
\end{pmatrix}

Współrzędne sferyczne (3D)[edytuj | edytuj kod]

Współrzędne sferyczne (r, \theta, \phi) są związane z współrzędnymi kartezjańskimi za pomocą związków:


\left \{
\begin{matrix}
x = r\sin \theta \cos \phi \\
y = r\sin \theta \sin \phi \\
z = r\cos \theta
\end{matrix}
\right.

Powyższe współrzędne są współrzędnymi kontrawariantnymi.

Obliczając z definicji tensor metryczny otrzymujemy:

g_{ij} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & r^{2} & 0 \\
0 & 0 & r^{2} \sin^{2} \theta
\end{pmatrix}

g^{ij} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{r^{2}} & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{r^{2} \sin^{2} \theta}
\end{pmatrix}

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. James B. Hartle: Grawitacja. Wprowadzenie do ogólnej teorii względności Einsteina. Warszawa: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2010. ISBN 9788323504764.
  2. John Lighton Synge: Rachunek tensorowy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1964.
  3. Taką konwencję stosują m.in. Hartle oraz Foster i Nightingale, ale już np. Synge i Schild przyjmują konwencję sumacyjną zgodnie z którą sumowanie przebiega po jakiejkolwiek parze powtarzających się wskaźników. W tym wariancie wzór da się zapisać w konwencji sumacyjnej Einsteina.
  4. 4,0 4,1 P. K. Raszewski: Geometria Riemanna i analiza tensorowa. Warszawa: PWN, 1958, s. 259.
  5. P. K. Raszewski: Geometria Riemanna i analiza tensorowa. Warszawa: PWN, 1958, s. 78.