Tensor metryczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Spacer.gif W tym artykule obowiązuje konwencja sumacyjna Einsteina.

Tensor metryczny - to tensor drugiego rzędu (o dwóch indeksach), symetryczny, charakterystyczny dla danego układu współrzędnych. Jest podstawowym pojęciem geometrii różniczkowej, występuje w elektrodynamice, teorii względności i innych teoriach, korzystających z geometrii różniczkowej.

Tensor metryczny można zdefiniować na dwa sposobyː

  • za pomocą iloczynu skalarnego
  • za pomocą elementu liniowego

W artykule opisano oba sposoby.

Wektory bazowe[edytuj]

Niech oznaczają współrzędne (na ogół krzywoliniowe) zdefiniowane na rozmaitości , przy czym jest wymiarem rozmaitości. Wektory styczne do linii współrzędnych oblicza się ze wzoru

gdzie jest wektorem wodzącym punktu na rozmaitości. Wektory te definiują lokalną bazę, określona dla przestrzeni stycznej w punkcie rozmaitości . (Odtąd będziemy skrótowo mówić "punkt " zamiast "punkt o wektorze wodzącym ". Zauważmy jednak, że wektor wodzący zależy od przyjętego początku układu współrzędnych, punkt zaś jest niezależnym od tego wyboru elementem rozmaitości.) Dla każdego punktu rozmaitości da się określić lokalną, unikalną bazę.

Tensor metryczny[edytuj]

Niech dana będzie n-wymiarowa rozmaitość różniczkowa ze zdefiniowanym w niej iloczynem skalarnym. Iloczyn skalarny jest symetrycznym, dodatnio określonym funkcjonałem dwuliniowym[1] , gdzie lub (ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych).

Tensor metryczny rozmaitości definiuje się poprzez iloczyny skalarne wektorów bazy, tj.:

Tensor ten ma więc elementów. Jest to postać kowariantna (o dolnych indeksach) tensora.

Postać kontrawariantną (o górnych indeksach) otrzymuje się jako macierz odwrotną z macierzy , czyli:

Współrzędne tensora metrycznego są więc równe iloczynom skalarnym wektorów bazowych lokalnego układu współrzędnych[2].

Obniżanie/podnoszenie wskaźników[edytuj]

Aby obniżyć wskaźniki dowolnego wektora trzeba pomnożyć go przez tensor metryczny

.

Aby podwyższyć wskaźniki, trzeba wykorzystać tensor :

.

Iloczyn skalarny dowolnych wektorów[edytuj]

Iloczyn skalarny dowolnych dwóch wektorów wyraża się przez tensor metryczny i współrzędne wektorów w jedenz trzech równoważnych sposobów:

gdzie:

tensor metryczny

współrzędne kontrawariantne (górne) wektorów

współrzędne kowariantne (dolne) wektorów

Dla przestrzeni euklidesowej , , gdy . Wtedy współrzędne kowariantne równe są kontrawiariantnym oraz

Dowód:

  • - wartość iloczynu skalarnego wektorów bazy
  • , - zapis wektorów w bazie

Stąd otrzymamy:

Stosując konwencję sumacyjną oraz zasady podwyższania/obniżania wskaźników otrzymamy:

, c.n.d.

Definicja tensora metrycznego przez element liniowy[edytuj]

(1) Niech będą dane dwa układy współrzędnych w n-wymiarowej rozmaitości różniczkowej:

  • kartezjański
  • krzywoliniowy

(2) Definiujmy element liniowy jako[3]

(3) Można przejść od układu współrzędnych kartezjańskich do układu współrzędnych krzywoliniowych za pomocą transformacji:

gdzie - funkcje wyrażające współrzędne kartezjańskie przez krzywoliniowe.

(4) Jeżeli każda funkcja ma ciągłe pochodne względem wszystkich swoich argumentów, to ze wzoru na różniczkę zupełną otrzymamy

(5) Wstawiając te różniczki do wzoru na element liniowy otrzymamy

(6) Tensorem metrycznym nazywa się występujące w powyższym wzorze wielkości[4]

(7) Wzór na element liniowy przyjmie postać (przy czym zmieniono nazwy indeksów sumacyjnych)

(8) Stosując konwencję sumacyjną Einsteina otrzymuje się uproszczony zapis

Iloczyn skalarny wektora [edytuj]

Tensor metryczny pozwala obliczyć iloczyn skalarny dowolnych wektorów. W szczególności obliczymy wektor skalarny wektora nieskończenie małego przesunięcia. Niech:

  • - wektor bazy układu współrzędnych w kierunku współrzędnej [1]
  • - wektora nieskończenie małego przesunięcia w przestrzeni zapisany w tej bazie

Ponieważ , to kwadrat długości wektora wynosi:

Korzystając z konwencji sumacyjnej Einsteina mamy ostatecznieː

.

Własności tensora metrycznego[edytuj]

Symetryczność[edytuj]

(1) Tensor metryczny definiuje się tak, że jest on zawsze symetryczny, tj.

Jest to możliwe, gdyż w wyrażeniu dla każdej pary wskaźników mamy sumę dwóch wyrazówː

=

Gdyby , to można dokonać symetryzacji przyjmując nowe wartości .

(2) Ponieważ tensor o górnych wskaźnikach otrzymuje się dokonując obliczenia macierzy odwrotnej go macierzy , to implikuje natychmiast, że tensor jest symetryczny, tj.

Symetria góra-dół[edytuj]

Z tensora można otrzymać tensory oraz odpowiednio przez podwyższenie pierwszego lub drugiego wskaźnika:

Ponieważ tensory oraz są symetryczne, to i z powyższych dwóch wzorów otrzymamy:

co oznacza, że istnieje symetria związaną z zamianą wskaźników góra-dół na dół-góra tensora metrycznego.

"Diagonalność" i współczynniki Lamego[edytuj]

Jeżeli układ współrzędnych jest ortogonalny, to tensor metryczny dla tego układu jest diagonalny. Zdefiniować wtedy można współczynniki Lamego:

(nie ma sumowania)

Przykłady tensorów metrycznych[edytuj]

Układ kartezjański 3D[edytuj]

Element liniowy 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesa nie zmienia się przy obrotach, translacjach, odbiciach układu współrzędnych, tj. odległości punktów i obliczona w danym układzie i po dokonaniu transformacji

oraz

będą identyczne. Z tego względu stanowi niezmiennik geometrii. Obliczając z definicji tensor metryczny otrzymujemy:

Można pokazać, że dowolna transformacja w wyżej wymienionych, np. obrót układu współrzędnych, nie zmienia tensora metrycznego.

Układ kartezjański n-wymiarowy[edytuj]

Element liniowy n-wymiarowej przestrzeni Euklidesa nie zmienia się przy obrotach i translacjach układu współrzędnych, tj.

Stąd tensor metryczny ma postać diagonalną:

gdzie

delta Kroneckera

Z postaci tego tensora wynika też, że w n-wymiarowym układzie kartezjańskim współrzędne kontra- i kowariantne są takie same.

Czasoprzestrzeń płaska (4D)[edytuj]

W czterowymiarowej czasoprzestrzeni (opisywanej przez szczególną teorię względności) interwał czasoprzestrzenny jest niezmiennikiem transformacji Lorentza. Niezmienniczość ta jest konsekwencją postulatu Einsteina o identyczności prędkości światła we wszystkich układach nieinercjalnych i stanowi punkt wyjścia teorii względności: mierząc odległości czasowe i przestrzenne impulsu światła, rozchodzącego się między danymi dwoma obiektami w danym układzie i układzie poruszającym się otrzymamy identyczne wartości, tj. jeśli w dwóch poruszających się względem siebie układach otrzyma się obliczy się interwały

to wyniki te będą identyczne, tj.

mimo że wielkości oraz w ogólności będą się różnić. Fakt, iż powyższa wielkość jest niezmiennikiem implikuje, że geometria rzeczywistego świata fizycznego jest geometrią nieeuklidesową: czas i przestrzeń wiążą się ze sobą nierozerwalnie w czasoprzestrzeń, wielkość stanowi element liniowy geometrii czasoprzestrzeni, niezmienniczy względem transformacji Lorentza.

Wektor położenia punktu w czasoprzestrzeni - to 4-wektor, mający współrzędną czasową i trzy współrzędne przestrzenne. W mechanice relatywistycznej przyjęło się oznaczać 4-wektory i tensory za pomocą indeksów greckich, np. .

Stosując tę konwencję przyjmuje się następujące indeksowanie współrzędnych: . Wtedy niezmiennik przyjmie postać:

Z postaci niezmiennika natychmiast wynika postać tensora metrycznego:

Tensor ten implikuje, że 4-wymiarowa czasoprzestrzeń (przestrzeń Minkowskiego) jest przestrzenią płaską (niezakrzywioną). Nie jest to jednak przestrzeń euklidesową, ze względu na przeciwne znaki przy trzech współrzędnych (przestrzennych) w relacji do współrzędnej czasowej. Jest to przestrzeń pseudoeuklidesowa.

Czasoprzestrzeń zakrzywiona (4D)[edytuj]

W ogólnej teorii względności rozważa się inne tensory metryczne opisujące zakrzywienie przestrzeni, np. dla metryki Schwarzschilda we współrzędnych tensor ten ma postać:

Współrzędne sferyczne (3D)[edytuj]

Współrzędne sferyczne są związane z współrzędnymi kartezjańskimi za pomocą związków:

Powyższe współrzędne są współrzędnymi kontrawariantnymi.

Obliczając z definicji tensor metryczny otrzymujemy:

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. a b P. K. Raszewski: Geometria Riemanna i analiza tensorowa. Warszawa: PWN, 1958, s. 259.
  2. P. K. Raszewski: Geometria Riemanna i analiza tensorowa. Warszawa: PWN, 1958, s. 78.
  3. James B. Hartle: Grawitacja. Wprowadzenie do ogólnej teorii względności Einsteina. Warszawa: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2010. ISBN 9788323504764.
  4. John Lighton Synge: Rachunek tensorowy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1964.