Tensor napięć-energii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania


Ogólna teoria względności
Spacetime curvature.png
Równanie Einsteina
Wstęp
Aparat matematyczny
Testy doświadczalne

Tensor energii-pędu (zwany też tensor napięć-energii) – tensor wymiaru drugiego rzędu, będący w ogólnej teorii względności źródłem zakrzywienia czasoprzestrzeni odczuwanego jako grawitacja. Każda jego składowa określa strumień czteropędu przez hiperpowierzchnię przecinającą czasoprzestrzeń. Aby obliczyć składową [a,b] tego tensora w danym punkcie, bierzemy średnią (całkę) składowej a wektora czteropędu i dzielimy przez element hiperpowierzchni prostopadłej do wektora bazowego odpowiadającego wymiarowi b. Element [0,0] tego tensora to zwyczajna gęstość masy, składowe [a,0], gdzie 1 ≤ a to gęstość pędu (łączna wartość pędu w jakimś obszarze, dzielona przez objętość tego obszaru), a część [a,b], gdzie a i b przyjmują wartości większe od 1, to znany z techniki tensor napięć. Składowe diagonalne tego tensora to ciśnienie, a pozadiagonalne, to tzw. napięcie (albo naprężenie). Tensor w czterowymiarowej czasoprzestrzeni ma wymiary 4x4, jednak rozpatruje się również czasoprzestrzenie o Tensor napięć-energii jest w standardowej teorii względności symetryczny. Istnieją jednak teorie, gdzie postuluje się, że jest asymetryczny. W takich teoriach nie obowiązuje zasada zachowania spinu, choć obowiązuje zasada zachowania momentu pędu – spin może zamieniać się w orbitalny moment pędu i na odwrót. Przy symetrycznym tensorze napięć-energii spin i orbitalny moment pędu są zachowane niezależnie.

Tensor napięć podlega zasadzie ciągłości:

Jest to odpowiednik zasady ciągłości strugi z mechaniki płynów. Jeżeli przepływ energii w jednym kierunku staje się mniejszy, to większe muszą się stać przepływy w innych kierunkach, żeby energia miała gdzie „uciec”.

Wyprowadzenie[edytuj | edytuj kod]

Wariacja grawitacyjnej całki działania

względem tensora metrycznego (gμ ν ) daje równania Einsteina

definiując tensor energii-pędu:

gdzie Lm jest funkcją Lagrange'a opisującą materię. Tensor energii pędu jest źródłem zakrzywienia czasoprzestrzeni.

W przybliżeniu quasiklasycznym traktujemy materię kwantowo, a pole grawitacyjnie w sposób klasyczny. W tym podejściu tensor energii-pędu zastępowany jest przez jego średnią, która jest liczona zgodnie z prawidłami kwantowej mechaniki statystycznej

Równania Einsteina przyjmuje postać

Tensor energii pędu jest teraz określony przez gęstość energii i ciśnienie układu fizycznego

gdzie u jest wektorem jednostkowym , jest przestrzennym rozkładem energii, a P rozkładem ciśnienia.

Przykładowo, w płaskiej przestrzeni Minkowskiego gμ νμ ν=diag(1,-1,-1,-1) wektor jednostkowy uμ={1,0,0,0} i tensor energii-pędu ma postać macierzową

Pełna informacja o układzie fizycznym musi jeszcze zawierać równanie stanu materii (EOS), czyli zależność ciśnienia od gęstości materii

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]