Teoria PCF

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Teoria PCF (od ang. possible cofinalities), teoria możliwych współkońcowości – dział teorii mnogości związany z arytmetyką liczb kardynalnych. Jednym z centralnych obiektów rozważanych w tej teorii jest zbiór współkońcowości pewnych zredukowanych porządków produktowych.

Stworzył ją izraelski matematyk Saharon Shelah w latach 80. XX wieku i do dziś jest ona rozwijana, głównie przez niego. Wyniki tej teorii demonstrują, że – mimo dużej kolekcji twierdzeń niezależnościowych w arytmetyce liczb kardynalnych – wciąż można dowieść wielu własności na gruncie aksjomatyki Zermela-Fraenkla (ZFC), o ile zadaje się właściwe pytania. Z teorii możliwych współkońcowości można także wywnioskować nowe prawa klasycznej arytmetyki liczb kardynalnych.

Rys historyczny[edytuj]

  • W 1970 roku, rozwijając metodę forsingu, William Easton[1] udowodnił następujące twierdzenie. Przypuśćmy, że F jest rosnącą funkcją określoną na wszystkich regularnych liczbach kardynalnych, której wartościami są nieskończone liczby kardynalne i taką, że dla wszystkich regularnych . Wówczas jest niesprzecznym z ZFC, że dla wszystkich regularnych liczb kardynalnych .
  • Twierdzenie Eastona przesunęło środek ciężkości badań w arytmetyce kardynalnej w kierunku hipotezy liczb singularnych (SCH) i jej naruszeń. SCH to zdanie stwierdzające, że dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej , jeśli to . Przy założeniu SCH, potęgi liczb kardynalnych są wyznaczone przez funkcję dla liczb regularnych. Z naruszenia SCH można znaleźć pewne duże liczby kardynalne, ale też z dużych liczb można wywnioskować niesprzeczność ¬SCH.
  • Z wyników Karola Prikrego[2] i Jacka Silvera wynika, że jeśli istnieje liczba superzwarta, to istnieje pojęcie forsingu, które forsuje, że dla pewnej silnie granicznej singularnej liczby kardynalnej mamy . Wielu matematyków zaczęło w latach 70. XX wieku sądzić, że w arytmetyce liczb kardynalnych wszystkie twierdzenia ZFC są już odkryte i wszystko, co nie jest przez te stwierdzenia zdeterminowane, jest niezależne od ZFC (być może, zakładając istnienie odpowiednio dużych liczb kardynalnych).
  • W 1978 Shelah opublikował pracę, w której użył nowatorskich metod do budowy pewnych algebr mocy [3]. Metody te były zwiastunem nowej teorii: teorii PCF. W kolejnych latach Shelah systematycznie prowadził badania w tym kierunku, z czasem wykazując, że ciągle jeszcze istnieją nieodkryte (i zdumiewające) twierdzenia ZFC.
  • W 1994 Shelah opublikował systematyczny i kompleksowy wykład teorii PCF[4].
  • Czytelnik nieprzyzwyczajony do bardzo trudnego stylu publikacji Shelaha, a zainteresowany głębszym zrozumieniem tej teorii, może więcej skorzystać z przeglądowego artykułu Maxa Burkego i Menachema Magidora[5] lub monografii M. Holza, K. Steffensa i E. Weitza[6]. Bardzo godnym polecenia jest też artykuł przeglądowy Uriego Abrahama i Menachema Magidora[7].

Podstawowe pojęcia[edytuj]

Pojęcia wstępne[edytuj]

  • Przypuśćmy, że jest praporządkiem. Definiujemy współkońcowość praporządku jako
.
  • Przypuśćmy, że S jest niepustym zbiorem i dla mamy daną liczbę porządkową . Dalej przypuśćmy, że I jest ideałem podzbiorów zbioru S. Definiujemy praporządek na przez
wtedy i tylko wtedy gdy .

Wybrane definicje z teorii PCF[edytuj]

  • Dla liczb kardynalnych określamy współczynnik pokryciowy jako najmniejszą możliwą moc rodziny (czyli elementy rodziny są podzbiorami zbioru mocy mniejszej niż ) takiej, że
.
  • Niech będzie niepustym zbiorem regularnych liczb kardynalnych. Określamy:
  • jest zbiorem wszystkich takich funkcji że ;
  • jeśli I jest ideałem na , to oznacza porządek częściowy otrzymany w kanoniczny sposób z praporządku na ;
  • jest ideałem maksymalnym na .
  • Niech będzie singularną liczbą kardynalną. Zdefiniujmy zbiór jako
jest zbiorem liczb regularnych, , oraz jest maksymalnym ideałem na zawierającym wszystkie ograniczone podzbiory .
Kładziemy .

Przykładowe twierdzenia teorii PCF[edytuj]

  • Przypuśćmy, że jest graniczną liczbą porządkową oraz że (czyli nie jest punktem stałym skali alefów). Wówczas a stąd .
Na przykład, (gdzie ).
  • Jeśli jest przedziałem liczb regularnych i , to jest również przedziałem liczb regularnych, który zawiera element największy oraz i też
    • Hipoteza PCF mówi, że nawet jeśli jest przedziałem liczb regularnych i .
  • Jeśli jest nieskończoną liczbą kardynalną, , , to .
  • Z powyższych wyników możemy wywnioskować np., że:
(a) jeśli gdzie jest graniczną liczbą porządkową, to ,
(b) jeśli gdzie jest graniczną liczbą porządkową, to .
W szczególności, jeśli , to .
Jeśli hipoteza PCF jest prawdziwa, to nawet .
  • Jeśli oraz zbiór jest stacjonarny w , to .

Powszechnie znaną (choć niekoniecznie popieraną) tezą Shelaha jest, że jeśli zinterpretujemy właściwie pierwszy problem Hilberta (używając podejścia motywowanego przez teorię PCF), to ma on odpowiedź pozytywną[8]. Podstawą do tej tezy jest następujące twierdzenie, nazywane revised GCH.

Dla liczb kardynalnych określamy
oraz dla każdego zbioru mocy można znaleźć zbiór taki że oraz .
  • Revised GCH: Jeśli jest silnie graniczną liczbą nieprzeliczalną, to dla każdej liczby kardynalnej można znaleźć takie, że
implikuje .

Przypisy

  1. Easton, William B.: Powers of regular cardinals. "Ann. Math. Logic" 1 (1970), s. 139-178.
  2. Prikry, Karel L.: Changing measurable into accessible cardinals. "Dissertationes Math. / Rozprawy Mat." 68 (1970).
  3. Shelah, Saharon: Jonsson algebras in successor cardinals. "Israel J. Math." 30 (1978), s. 57-64.
  4. Shelah, Saharon: Cardinal arithmetic. "Oxford Logic Guides", 29. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1994. ​ISBN 0-19-853785-9
  5. Burke, Maxim R.; Magidor, Menachem: Shelah's pcf theory and its applications. "Ann. Pure Appl. Logic" 50 (1990), s. 207-254.
  6. Holz, M.; Steffens, K.; Weitz, E.: Introduction to cardinal arithmetic. "Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher". Birkhäuser Verlag, Basel, 1999. ​ISBN 3-7643-6124-7​.
  7. Abraham, Uri; Magidor, Menachem: Cardinal Arithmetic, w: Handbook of Set Theory pod red. M. Foremana, A. Kanamoriego i M. Magidora, w druku. Dostępne w formacie dvi na stronach pierwszego autora.
  8. Shelah, Saharon: The generalized continuum hypothesis revisited. "Israel J. Math." 116 (2000), s. 285-321.