Teoria dystrybucji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Teoria dystrybucji – dział matematyki leżący na pograniczu analizy funkcjonalnej i teorii funkcji rzeczywistych powstały w XX wieku, głównie za sprawą prac francuskiego matematyka Laurenta Schwartza. Zasadniczą ideą tej teorii jest pewne uogólnienie pojęcia funkcji (rzeczywistej) nazywane właśnie dystrybucją, które z punktu widzenia wyjściowej teorii nie ma własności przynależnych dobrze określonym funkcjom (np. na ogół dystrybucje nie mają „wartości w punkcie”), to z drugiej strony mają one doskonałe własności analityczne, m.in. mają pochodne dowolnego rzędu. Operowanie tego rodzaju obiektami odbiega od klasycznego, częstokroć korzysta się z transformaty Fouriera, czy splotu. Metody dystrybucyjne znajdują zastosowanie w teorii równań różniczkowych dając opis uogólnionych ich rozwiązań; dzięki temu doskonale nadają się one do opisu wielu skomplikowanych układów fizycznych.

Motywacje[edytuj | edytuj kod]

Francuski matematyk Laurent Schwartz zajmujący się funkcjami nieróżniczkowalnymi w kontekście teorii dystrybucji sformułował problem istnienia pochodnych takich funkcji (tzw. dystrybucji) nieco ogólniej: być może pochodne funkcji ciągłych, ale nieróżniczkowalnych istnieją, ale nie są funkcjami liczbowymi, gdyż klasa takich funkcji jest zbyt wąska? Schwartz rozważał przestrzeń \mathcal{D}(\Omega) funkcji określonych na otwartym podzbiorze \Omega przestrzeni euklidesowej ustalonego wymiaru, nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, o zwartym nośniku – przy czym wzmocnił dodatkowo topologię zbieżności w tej przestrzeni[1].

Skorzystał on z obserwacji, że im – w pewnym sensie – „mniejsza” przestrzeń wyjściowa, tym większa jest jej przestrzeń sprzężona. Przestrzeń \mathcal{D}^\prime(\Omega), nazywana przestrzenią dystrybucji, okazała się „bardzo duża” – dokonując pewnego utożsamienia, można uważać, że należą do niej wszystkie funkcje lokalnie całkowalne oraz tzw. funkcje uogólnione, jak na przykład delta Diraca.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Jeśli \Omega jest otwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej \mathbb{R}^n (w szczególności może być całą przestrzenią), to przez \mathcal{D}(\Omega) oznacza się przestrzeń liniową funkcji gładkich o zwartym nośniku, przyjmujących wartości rzeczywiste bądź zespolone. Zatem przestrzeń \mathcal{D}(\Omega) składa się z takich funkcji określonych na zbiorze \Omega, które mają ciągłe pochodne cząstkowe dowolnego rzędu, a ponadto przyjmują wartość zero poza zbiorem ograniczonym.

W przestrzeni \mathcal{D}(\Omega) można określić pojęcie zbieżności, przyjmując, że ciąg funkcji (f_n)_{n\in\mathbb{N}} jest zbieżny do funkcji granicznej f wtedy i tylko wtedy, gdy:

  • istnieje zbiór ograniczony A{\subset}\Omega, w którym zawierają się nośniki funkcji f_n dla n \in \mathbb{N} (a więc funkcje f_n zerują się poza zbiorem A);
  • dla każdego wielowskaźnika \alpha ciąg (D^\alpha f_n) pochodnych cząstkowych jest zbieżny jednostajnie do D^\alpha f.

Wówczas przestrzeń \mathcal D'(\Omega) sprzężoną do \mathcal D(\Omega) nazywa się przestrzenią dystrybucji na \Omega; dystrybucjami są więc wszystkie te funkcjonały \mathcal{D}(\Omega) \to \mathbb{R}, które są liniowe i ciągłe.

Funkcje lokalnie całkowalne[edytuj | edytuj kod]

Mając określoną przestrzeń \mathcal{D}^\prime(\Omega) dystrybucji na \Omega jw., każdej funkcji f lokalnie całkowalnej na \Omega można przypisać dystrybucję T \in \mathcal{D}^\prime(\Omega) określoną wzorem:

\phi \mapsto \int\limits_\Omega f\phi

Taki zabieg pozwala na traktowanie pewnych dystrybucji, zwanych regularnymi, jako funkcji lokalnie całkowalnych. W przestrzeni dystrybucji \mathcal{D}^\prime(\Omega) można następnie określić operację różniczkowania, transformacji Fouriera oraz splotu tak, aby miały one jednakowy sens, jak w przypadku analogicznych działań na funkcjach. Co więcej, operacje te określone są na wszystkich dystrybucjach, niezależnie od tego, czy da się je utożsamić z jakimikolwiek funkcjami.

Delta Diraca[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: delta Diraca.

Delta Diraca to bardzo ważny w zastosowaniach przykład dystrybucji nieregularnej; można ją również zdefiniować jako „pseudofunkcję”, choć w sensie ścisłym należy ją traktować jako dystrybucję z \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n), tzn. \delta_0\colon \mathcal{D}(\mathbb{R}^n) \to \mathbb R (możliwe jest przedłużenie dystrybucji δ na szersze przestrzenie funkcyjne), określoną wzorem \phi \mapsto \phi(0).

Przypisy