Teoria dystrybucji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Teoria dystrybucji – dział matematyki leżący na pograniczu analizy funkcjonalnej i teorii funkcji rzeczywistych powstały w XX wieku, głównie za sprawą prac francuskiego matematyka Laurenta Schwartza. Zasadniczą ideą tej teorii jest pewne uogólnienie pojęcia funkcji (rzeczywistej) nazywane właśnie dystrybucją, które z punktu widzenia wyjściowej teorii nie ma własności przynależnych dobrze określonym funkcjom (np. na ogół dystrybucje nie mają „wartości w punkcie”), to z drugiej strony mają one doskonałe własności analityczne, m.in. mają pochodne dowolnego rzędu. Operowanie tego rodzaju obiektami odbiega od klasycznego, częstokroć korzysta się z transformaty Fouriera, czy splotu. Metody dystrybucyjne znajdują zastosowanie w teorii równań różniczkowych dając opis uogólnionych ich rozwiązań; dzięki temu doskonale nadają się one do opisu wielu skomplikowanych układów fizycznych.

Motywacje[edytuj]

Francuski matematyk Laurent Schwartz zajmujący się funkcjami nieróżniczkowalnymi w kontekście teorii dystrybucji sformułował problem istnienia pochodnych takich funkcji (tzw. dystrybucji) nieco ogólniej: być może pochodne funkcji ciągłych, ale nieróżniczkowalnych istnieją, ale nie są funkcjami liczbowymi, gdyż klasa takich funkcji jest zbyt wąska? Schwartz rozważał przestrzeń funkcji określonych na otwartym podzbiorze przestrzeni euklidesowej ustalonego wymiaru, nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, o zwartym nośniku – przy czym wzmocnił dodatkowo topologię zbieżności w tej przestrzeni[1].

Skorzystał on z obserwacji, że im – w pewnym sensie – „mniejsza” przestrzeń wyjściowa, tym większa jest jej przestrzeń sprzężona. Przestrzeń nazywana przestrzenią dystrybucji, okazała się „bardzo duża” – dokonując pewnego utożsamienia, można uważać, że należą do niej wszystkie funkcje lokalnie całkowalne oraz tzw. funkcje uogólnione, jak na przykład delta Diraca.

Definicja[edytuj]

Jeśli jest otwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej (w szczególności może być całą przestrzenią), to przez oznacza się przestrzeń liniową funkcji gładkich o zwartym nośniku, przyjmujących wartości rzeczywiste bądź zespolone. Zatem przestrzeń składa się z takich funkcji określonych na zbiorze , które mają ciągłe pochodne cząstkowe dowolnego rzędu, a ponadto przyjmują wartość zero poza zbiorem ograniczonym.

W przestrzeni można określić pojęcie zbieżności, przyjmując, że ciąg funkcji jest zbieżny do funkcji granicznej f wtedy i tylko wtedy, gdy:

  • istnieje zbiór ograniczony , w którym zawierają się nośniki funkcji dla (a więc funkcje zerują się poza zbiorem );
  • dla każdego wielowskaźnika ciąg pochodnych cząstkowych jest zbieżny jednostajnie do .

Wówczas przestrzeń sprzężoną do nazywa się przestrzenią dystrybucji na dystrybucjami są więc wszystkie te funkcjonały które są liniowe i ciągłe.

Funkcje lokalnie całkowalne[edytuj]

Mając określoną przestrzeń dystrybucji na jw., każdej funkcji f lokalnie całkowalnej na można przypisać dystrybucję określoną wzorem:

Taki zabieg pozwala na traktowanie pewnych dystrybucji, zwanych regularnymi, jako funkcji lokalnie całkowalnych. W przestrzeni dystrybucji można następnie określić operację różniczkowania, transformacji Fouriera oraz splotu tak, aby miały one jednakowy sens, jak w przypadku analogicznych działań na funkcjach. Co więcej, operacje te określone są na wszystkich dystrybucjach, niezależnie od tego, czy da się je utożsamić z jakimikolwiek funkcjami.

Delta Diraca[edytuj]

 Zobacz też: delta Diraca.

Delta Diraca to bardzo ważny w zastosowaniach przykład dystrybucji nieregularnej; można ją również zdefiniować jako „pseudofunkcję”, choć w sensie ścisłym należy ją traktować jako dystrybucję z tzn. (możliwe jest przedłużenie dystrybucji δ na szersze przestrzenie funkcyjne), określoną wzorem

Przypisy