Teoria odnowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Teoria odnowy - dział rachunku prawdopodobieństwa który uogólnia procesy Poissona na takie, w których odstępy między zdarzeniami (tutaj zwanymi odnowami) mają dowolny rozkład.

Proces odnowy[edytuj]

Strumień odnowy[edytuj]

Zdefiniujemy teraz pojęcie strumienia odnowy. Jest to zmienna losowa interpretowana jako chwila n-tej odnowy. Niech będzie ciągiem niezależnych, nieujemnych zmiennych losowych, takim że zmienne spełniają warunki:

- ;

- ;

- .

Gdzie oznacza dystrybuantę zmiennej losowej . Zmienne interpretuje się, jako czasy pomiędzy odnowami.

Strumieniem odnowy nazywamy ciąg zmiennych losowych zdefiniowany następująco: . Zatem oznacza czas n-tej odnowy.

Strumieie proste i ogólne[edytuj]

Ze względu na rozkład zmiennej stosuje się następujący podział: Strumień odnowy nazywamy strumieniem prostym, jeśli . Strumień odnowy nazywamy strumieniem ogólnym, jeśli .

Definicja[edytuj]

Proces odnowy definiuje się analogicznie jak liczbę zgłoszeń w procesie Poissona. Procesem odnowy nazywamy następującą zmienną losową: dla strumienia ogólnego;

dla strumienia prostego.

Równoważnie dla obu strumieni, można zapisać: .

Różnica w definicji procesu odnowy dla strumienia ogólnego i prostego, wynika z definicji tych strumieni. Strumień prosty w czasie t=0 z prawdopodobieństwem 1 ma wartość 0, zatem nigdy nie bieżemy kresu górnego zbioru pustego. W przypadku strumienia ogólnego wykluczamy tą możliwość przez podanie dodatkowego warunku.

Funkcja odnowy[edytuj]

Funkcją odnowy (zwaną też funkcją średnią procesu odnowy, analogicznie do funkcji średniej niejednorodnego procesu Poissona) nazywamy funkcję .

Związki funkcji odnowy z rozkładem zmiennych [edytuj]

- Funkcja odnowy jednoznacznie określa rozkład zmiennych ;

- Zachodzi równanie odnowy .

Twierdzenia graniczne[edytuj]

Poniżej są podane pewne twierdzenia o zachowaniu się procesu odnowy przy . Niech .

-Z prawdopodobieństwem 1 zachodzi zbieżność: .

- Elementarne twierdzenie odnowy: .

Złożony proces odnowy[edytuj]

Pojęcie złożonego procesu odnowy jest uogólnienim pojęcia procesu odnowy. Złożony proces odnowy określany jest także mianem procesu odnowy wypłat. Nazwa ta odzwierciedla wygodną interpretację tego procesu. Mianowicie dla każdej chwili odnowy przyporządkowujemy zmienną losową zwaną wypłatą. O zmiennych zakładamy, że są niezależne o jednakowym rozkładzie. Zmienne mogą natomiast być zależne od

Definicja[edytuj]

Złożonym procesem odnowy nazywamy zmienną losową określoną następująco:

.

R(t) przy podanej wyżej interpretacji oznacza łączną wypłatę do chwili t. Gdy to , dlatego proces odnowy jest szczególnym przypadkiem złożonego procesu odnowy.

Średnia wypłata w długim okresie[edytuj]

Podamy teraz twierdzenie, które mówi jak zachowuje się wyrażenie dla , oznaczające przy ustalonym t średnią wygraną do czasu t.

Niech . Wtedy jeśli to z prawdopodobieństwem 1 istnieje granica:

.

Zatem średnia wygrana w długim okresie jest równa średniej wygranej w jednej odnowie podzielonej przez średnią długość czasu jednej odnowy.