Teoria węzłów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Węzeł trójlistny (trójlistnik albo koniczynka oznaczony jako 31) to najprostszy węzeł nietrywialny
Splot Hopfa to najprostszy splot nietrywialny
Przykład supła trywialnego oznaczanego jako (0)

Teoria węzłów – dział topologii zajmujący się badaniem związanym z zagadnieniami i własnościami węzłów i splotów, a także supłów zaproponowanych przez Johna H. Conwaya[1].

Węzły to zamknięte pętle umieszczone w przestrzeni trójwymiarowej, czyli zaplątane krzywe z połączonymi końcami. Mówiąc inaczej węzeł to homeomorficzny obraz okręgu zanurzonego w przestrzeni 3-wymiarowej R3.

Splot to suma skończonej ilości węzłów wzajemnie rozłącznych, zwanych składowymi splotu, które mogą być zasupłane i splecione ze sobą. Węzeł jest splotem o jednej składowej, a splot jest sumą okregów parami rozłacznych. Kilka węzłów tworzy splot, a poszczególne węzły nazywane są jego ogniwami. Sam węzeł zatem jest szczególnym przypadkiem splotu.

Podstawowym problemem teorii węzłów jest klasyfikacja węzłów i ich rozróżnianie.

Najprostszym węzłem jest tzw. węzeł trywialny czyli okrąg (inaczej pętla trywialna, zwany też niewęzłem i oznaczony przez 01). Pełną klasyfikację węzłów do 9. rzędu opracował w końcu lat 20. XX wieku Kurt Reidemeister[2].

W 1928 roku James W. Alexander przyporządkował węzłom pewne wielomiany[3].

W 1984 roku nowozelandzki matematyk Vaughan F. R. Jones odkrył niezmiennik i oznaczył V, a obecnie znany jest jako wielomian Jonesa. Jones przypisał każdemu splotowi zorientowanemu wielomian Laurenta, przez co odkrył zaskakujące związki między algebrą operatorów i teorią węzłów i podał proste niezmienniki charakteryzujące węzły. Za prace nad teorią węzłów otrzymał w 1990 roku Medal Fieldsa.

W 1985 roku grupa matematyków w składzie: J. Hoste, A. Ocneanu, K. Millett, P. J. Freyd, W. B. R. Lickorish, D. N. Yetter[4] oraz w 1987 roku Józef Przytycki, Paweł Traczyk[5], odkryła inny niezmiennnik zwany wielomianem HOMFLY-PT (nazwa od inicjałów autorów).

Zastosowania[edytuj]

Teoria węzłów odgrywa istotną rolę przy badaniu rozmaitości trójwymiarowych.

Teoria węzłów znalazła zastosowanie w rozmaitych dziedzinach życia takich jak analiza obwodów elektrycznych, kryptografia czy mechanika statystyczna. W biologii molekularnej i chemii supramolekularnej węzłów używa się też do opisu struktur DNA i białek.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

Przypisy

  1. Conway J.: An enumeration of knots and links and some of their related properties. Computational Problems in Abstract Algebra, Proc. Conf. Oxford 1967 (Ed. J. Leech), 329-358. New York: Pergamon Press, 1970
  2. Reidemeister K.: Knotentheorie. Berlin: Springer Verlag, 1932
  3. Alexander, J. W. (1928). "Topological invariants of knots and links". Trans. Amer. Math. Soc. 30 (2): 275–306. doi:10.2307/1989123.
  4. J. Hoste, A. Ocneanu, K. Millett, P. Freyd, W. B. R. Lickorish and D. Yetter, A new polynomial invariant of knots and links, Bull. Amer. Math. Soc. 12 (1985) 239-246.
  5. J. Przytycki and P. Traczyk, Conway Algebras and Skein Equivalence of Links, Proc. Amer. Math. Soc. 100 (1987) 744-748.

Linki zewnętrzne[edytuj]