Test chi-kwadrat

Test chi-kwadrat $\left(\chi ^{2}\right)$ – nieparametryczny test statystyczny, w którym statystyka testowa ma rozkład chi-kwadrat. Został zaproponowany przez Karla Pearsona na przełomie XIX i XX w., był jednym z pierwszych testów, który umożliwiał ilościową ocenę odchyleń między oczekiwanymi wartościami teoretycznymi a wartościami obserwowanymi w pomiarach częstotliwości występowania poszczególnych wartości zmiennych nominalnych. Pozwalało to na ocenę, na ile model teoretyczny odpowiada rzeczywistym danym. Test znalazł zastosowanie w naukach przyrodniczych (np. genetyka, fizyka, chemia) oraz w naukach społecznych i psychologii. Test ten służy do weryfikacji hipotez statystycznych. Aby stosować test chi-kwadrat, trzeba dysponować próbą losową o dostatecznie dużej liczebności. Dla małej próby losowej stosuje się dokładny test Fishera.

Notka historyczna

Test chi-kwadrat został zaproponowany przez Karla Pearsona, gdy zauważył występowanie znaczącego skośnego rozkładu w niektórych obserwacjach biologicznych. Aby móc modelować obserwacje niezależnie od tego, czy były one normalne, czy skośne, Pearson w serii artykułów opublikowanych w latach 1893–1916 opracował rozkład Pearsona, rodzinę ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa, obejmującą zarówno rozkład normalny, jak i wiele rozkładów skośnych. Zaproponował również metodę analizy statystycznej polegającą na użyciu tego rozkładu do modelowania obserwacji oraz przeprowadzaniu testu zgodności, aby określać, jak dobrze model teoretyczny odpowiada rzeczywistym danym.

Typy testów chi-kwadrat

Wyróżnia się trzy główne typy testów chi-kwadrat:

1. Test zgodności chi-kwadrat (ang. goodness-of-fit chi-squared test) – bada, czy rozkład zmiennej losowej odpowiada założonemu rozkładowi teoretycznemu. Np. weryfikacja hipotezy, że kostka do gry jest symetryczna (rozkład wyników jest równomierny) na podstawie obserwowanych wyników rzutów tą kostką lub sprawdzenie, czy obserwowane fenotypy roślin odpowiadają oczekiwanym proporcjom.
2. Test niezależności chi-kwadrat (ang. independence chi-squared test) – bada, czy dwie zmienne losowe są od siebie niezależne. Np. weryfikacja hipotezy, że rodzaj pożywienia (np. dieta wysokobiałkowa, wysokowęglowodanowa, mieszana) jest niezależny od zachorowalności na określoną chorobę (np. cukrzycę lub choroby serca) w badanej populacji.
3. Test jednorodności chi-kwadrat (ang. homogeneity chi-squared test) – bada, czy rozkłady tej samej zmiennej losowej w różnych populacjach są identyczne. Np. weryfikacja hipotezy, że oceny w kilku grupach studentów pochodzą z takiego samego rozkładu.

Test zgodności chi-kwadrat - hipoteza prosta

Wykres rozkładu $\chi ^{2}$ z zaznaczonym obszarem krytycznym $\alpha =0{,}05$ (pole zacieniowane na czerwono). Zaobserwowana wartość $\chi _{emp}^{2}=22{,}1$ statystyki testowej jest większa od wartości krytycznej $c_{\alpha }=18{,}31$, czyli leży w obszarze odrzucenia. Pole niebieskie jest równe wartości p statystyki $\chi _{emp}^{2}$.

Wykres rozkładu χ² z zaznaczonym obszarem krytycznym $\alpha =0{,}05$ (pole zacieniowane na czerwono). Empiryczna wartość $\chi _{emp}^{2}=12{,}1$ statystyki testowej jest mniejsza od wartości krytycznej $c_{\alpha }=18{,}31$, czyli leży poza obszarem odrzucenia. Pole niebieskie jest równe wartości p statystyki $\chi _{emp}^{2}$.

Załóżmy, że na podstawie jakichś przesłanek, np. wstępnie poczynionych obserwacji lub na podstawie rozważań teoretycznych, przypuszczamy, jaki rozkład prawdopodobieństwa ma badana cecha statystyczna w populacji. Np. przypuszczamy, że mamy do czynienia z rozkładem normalnym wzrostu osobników w populacji, lub że rejestrowane rozpady pierwiastka promieniotwórczego mają rozkład Poissona. Przypuszczenia możemy zweryfikować za pomocą testu zgodności chi-kwadrat, który zaproponował Karl Pearson w 1900 r.

Załóżmy, że pobraliśmy z populacji próbę losową o liczebności równej $n$, zaś dystrybuanta hipotetycznego rozkładu ma znaną postać funkcyjną $F(x),x\in (-\infty ,+\infty )$. Postępujemy wtedy następująco:

(1) Dzielimy oś liczbową $x$ na $k$ rozłącznych przedziałów $I_{1},I_{2},\dots ,I_{k}$ (niekoniecznie równej długości). Niech przedziały zawierają odpowiednio $n_{1},n_{2},\dots ,n_{k}$ wyników, przy czym $n_{i}$ oznacza liczbę zaobserwowanych wartości $x$ zmiennej losowej należących do przedziału $I_{i}$; zachodzi też równość

$\sum _{i=1}^{k}n_{i}=n$

(2) Dla każdego przedziału wyznaczamy teoretyczne wartości oczekiwane $E_{i}$ wyników, które obliczymy na podstawie założonego (hipotetycznego) rozkładu prawdopodobieństwa; czyli mamy:

$E_{i}=n\cdot p_{i},\quad i=1,2,\dots ,k$,

gdzie $p_{i}(x)$ - prawdopodobieństwo teoretyczne, że $x$ leży w przedziale $I_{i}$.

(3) Obliczamy chi-kwadrat empiryczne statystyki testowej

$\chi _{emp}^{2}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {(n_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}}$

gdzie:

$n$ – liczebność próby losowej,

$k$ – liczba przedziałów,

$n_{i}$ – liczebności wyników pomiarów w poszczególnych przedziałach, $i=1,2,\dots ,k$,

$E_{i}=n\cdot p_{i}$ – wartość teoretyczna (oczekiwana) wynikająca z hipotezy, odpowiadająca liczebności empirycznej $n_{i}$.

Statystyka testowa dla dużych liczebności $n$ próby losowej ma w przybliżeniu rozkład $\chi ^{2}$ o $\nu =k-1$ stopniach swobody.

(4) Ustalamy poziom istotności $\alpha$ (np. 0,001); jeżeli dysponujemy tablicą rozkładu chi-kwadrat, która zestawia wartości krytyczne, to odczytujemy z niej dla $\nu =k-1$ stopni swobody wartość krytyczną $c_{\alpha }$, tj. taką wartość, że

$P(\chi ^{2}>c_{\alpha })=\alpha$

Jeżeli zaś tablica rozkładu $\chi ^{2}$ podaje wartości dystrybuanty tego rozkładu $P(\chi ^{2}\leqslant x)$, to ustalamy $c_{\alpha }$ na podstawie warunku

$P(\chi ^{2}\leqslant c_{\alpha })=1-\alpha$

(5) Jeżeli $\chi _{emp}^{2}>c_{\alpha }$, to odrzucamy hipotezę zerową, że $F(x)$ jest rozkładem badanej cechy w populacji. Jeżeli $\chi _{emp}^{2}\leqslant c_{\alpha }$, to nie ma podstaw, by odrzucić tę hipotezę.

Kryterium odrzucenia hipotezy zerowej uzasadnia się następująco: Duże wartości $\chi _{emp}^{2}$ świadczą o tym, że wyniki uzyskane z pomiarów tej cechy w próbie losowej znacznie odbiegają od hipotetycznego rozkładu cechy w populacji. Poziom istotności $\alpha$ określa prawdopodobieństwo uzyskania skrajnie dużych wartości statystyki, co świadczy o niedopasowaniu modelu teoretycznego do badanej populacji, przy czym: im mniejszy jest poziom istotności, przy którym wartość statystyki chi-kwadrat "wpada" w obszar krytyczny, tym większe jest niedopasowanie.

Uwaga 1 Jak obliczać prawdopodobieństwa teoretyczne $p_{i}$

• Wartości teoretyczne prawdopodobieństw $p_{i}$dla rozkładu ciągłego (np. dla rozkładu normalnego) są zadane przez całki z funkcji gęstości prawdopodobieństwa po odpowiednich przedziałach $I_{i}$, do których zostały zaliczone wyniki z próby losowej.
• Wartości teoretyczne prawdopodobieństw $p_{i}$ dla rozkładu dyskretnego (np. dla rozkładu Poissona, dwumianowego) są równe sumom prawdopodobieństw uzyskania tych wyników próby losowej, które zostały wliczone do odpowiadających im przedziałom $I_{i},$ pomnożonych przez liczebność $n$ próby.
• Wartość $p_{i}$można wyznaczyć także jako różnice wartości dystrybuanty rozkładu teoretycznego dla punktów brzegowych przedziału $I_{i}=(a_{i-1},a_{i}>$, tj. $p_{i}=F(a_{i})-F(a_{i-1})$; dotyczy to zarówno rozkładu ciągłego jak i dyskretnego.

Uwaga 2 nt. minimalnych liczebności $E_{i}$

• Przyjmuje się, że liczby $E_{i}=n\cdot p_{i}$ w poszczególnych przedziałach powinny być większe lub równe 5 lub nawet większe niż 10. Z tego powodu wyniki łączy się w przedziały o odpowiednich liczebnościach (por. Przykład 2, który omawia taką sytuację).

Przykład 1: Weryfikacja symetrii kostki do gry

Test chi-kwadrat pozwala ocenić, czy kostka jest symetryczna na podstawie odpowiednio dużej próby losowej.

Weryfikacja, czy kostka do gry jest „uczciwa” (symetryczna), jest klasycznym przykładem zastosowania testu zgodności chi-kwadrat Pearsona. Proces ten polega na porównaniu zaobserwowanych częstości wyników z częstościami oczekiwanymi, wynikającymi z teoretycznego modelu rozkładu jednostajnego dyskretnego.

Dane eksperymentalne

Przeprowadzono doświadczenie losowe polegające na wykonaniu $n=600$ rzutów kostką. Uzyskane wyniki (liczbę wystąpień każdej ze ścian) przedstawiono w poniższej tabeli:

liczba oczek	1	2	3	4	5	6	Suma
liczba wystąpień $n_{i}$	88	109	107	94	105	97	600

Sformułowanie hipotez

Problem weryfikacji symetrii kostki sprowadza się do testowania następujących hipotez:

Hipoteza zerowa ($H_{0}$): Kostka jest symetryczna. Prawdopodobieństwo wyrzucenia każdej z liczb oczek jest identyczne i wynosi $p_{i}=1/6$ dla każdego $i\in \{1,2,3,4,5,6\}$.

Hipoteza alternatywna: Kostka nie jest symetryczna. Istnieje przynajmniej jedna ściana (liczba oczek), dla której $p_{i}\neq 1/6$.

Obliczenie wartości oczekiwanych

Przy założeniu prawdziwości $H_{0}$ dla każdej ścianki kostki wartość oczekiwana liczby wystąpień ($E_{i}$) w serii $n$ rzutów jest stała i wynosi: $E_{i}=n\cdot p_{i}=600\cdot {\frac {1}{6}}=100$. Zgodnie z wymaganiami metodologicznymi testu chi-kwadrat, wszystkie wartości oczekiwane powinny wynosić co najmniej 5, co w tym przypadku jest spełnione ($100\geqslant 5$).

Statystyka testowa

Do oceny rozbieżności między wynikami empirycznymi a modelem teoretycznym stosuje się statystykę testową

$\chi _{emp}^{2}=\sum _{i=1}^{6}{\tfrac {(n_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}}$.

Po podstawieniu danych z tabeli:

$\chi _{emp}^{2}={\tfrac {(88-100)^{2}}{100}}+{\tfrac {(109-100)^{2}}{100}}+{\tfrac {(107-100)^{2}}{100}}+{\tfrac {(94-100)^{2}}{100}}+{\tfrac {(105-100)^{2}}{100}}+{\tfrac {(97-100)^{2}}{100}}=3,\!44$

Obszar krytyczny i interpretacja

Statystyka testowa przy założeniu prawdziwości $H_{0}$ ma asymptotyczny rozkład chi-kwadrat o liczbie stopni swobody $\nu =k-1=6-1=5$ (liczba stopni swobody jest mniejsza o 1 od liczby $k$ ścian kostki, gdyż przy znajomości liczb $n_{1},n_{2},n_{3},n_{4},n_{5}$można wyznaczyć liczbę $n_{6}$).

Przyjęto poziom istotności $\alpha =0{,}05$. Wartość krytyczna wyznaczona na podstawie funkcji kwantylowej lub odczytana z tablic rozkładu chi-kwadrat dla $\nu =5$ i prawdopodobieństwa $1-\alpha =0{,}95$ wynosi $c_{\alpha }=11{,}07$. Można sprawdzić, że $P(\chi ^{2}\leqslant c_{\alpha })=1-\alpha =0{,}95$.

Wniosek statystyczny

Obliczona wartość statystyki empirycznej $\chi _{emp}^{2}=3{,}44$ jest mniejsza od wartości krytycznej $11{,}07$. W związku z tym nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Dane zebrane w próbie losowej są zgodne z założeniem o symetrii kostki, a zaobserwowane odchylenia od wartości oczekiwanych można przypisać przypadkowemu błędowi losowemu

Przykład 2: Weryfikacja zgodności z rozkładem dwumianowym

Model teoretyczny i hipotezy

Rozważane doświadczenie polega na rzucie $m=5$ kostkami do gry, gdzie sukcesem jest wyrzucenie „szóstki”. Prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie (dla kostki symetrycznej) wynosi $p=1/6$. Liczba sukcesów $l$ w każdym rzucie może przyjmować wartości $l=0,1,2,3,4,5$ i podlega rozkładowi dwumianowemu${\text{Binom}}\left(m=5;p=1/6\right)$:

$p_{l}=P(X=l)={\binom {m}{l}}p^{l}(1-p)^{m-l}={\binom {5}{l}}({\tfrac {1}{6}})^{l}(1-{\tfrac {1}{6}})^{5-l}$Przedmiotem weryfikacji są następujące hipotezy:

• Hipoteza zerowa ($H_{0}$): Badana zmienna losowa ma rozkład dwumianowy z parametrami m=5 i p=1/6.
• Hipoteza alternatywna ($H_{A}$): Rozkład zmiennej jest inny niż założony w $H_{0}$.

Częstości oczekiwane i grupowanie danych

$l$	$E_{l}$	$I_{i}$	$E_{i}$
0	80,38	$I_{1}$	80,38
1	80,38	$I_{2}$	80,38
2	32,15	$I_{3}$	32,15
3	6,43	$I_{4}$	7,10
4	0,64
5	0,03

Wykonano $n=200$ powtórzeń doświadczenia. Wartość oczekiwana liczby wystąpień $l$ sukcesów ($E_{l}$) wyznaczana jest jako iloczyn $n\cdot p_{l}$. Wartości $p_{l}$ można obliczyć na przykład za pomocą poniższego prostego kodu w Pythonie. Wynikiem są wartości przedstawione w kolumnie $E_{l}$ tabeli.

import math
n = 200 # liczba rzutów w próbie
m = 5   # liczba kostek
p = 1/6 # prawdopodobieństwo sukcesu

for l in range(m + 1):
    E_l = n * math.comb(m, l) * (p ** l) * ((1 - p) ** (m - l))
    print(f"E_{l} = {E_l:.2f}")

Zgodnie z typowymi wymogami testu chi-kwadrat każda oczekiwana częstość powinna wynosić co najmniej 5. W przypadku gdy $E_{l}<5$, klasy podlegają połączeniu. W tabeli klasy $E_{3},E_{4},E_{5}$ zostały zgrupowane w jeden przedział $I_{4}$. Wartości teoretyczne dla czterech przedziałów przedstawiono w kolumnie $E_{i}$ tabeli.

Wyniki empiryczne i statystyka testowa

W wyniku przeprowadzonej serii $n=200$ rzutów otrzymano następujące częstości obserwowane $n_{l}$:

$l$ – liczba sukcesów	0	1	2	3	4	5
liczba obserwowana $n_{l}$	85	79	31	5	0	0

Następnie pogrupowano te wyniki zgodnie z grupami wartości teoretycznych:

przedział $I_{i}$	$I_{1}$	$I_{2}$	$I_{3}$	$I_{4}$
liczba obserwowana $n_{i}$	85	79	31	5

Statystyka testowa obliczana jest ze wzoru Pearsona:

$\chi _{emp}^{2}=\sum _{i=1}^{4}{\tfrac {(n_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}}$

Po podstawieniu danych liczbowych:

$\chi _{emp}^{2}={\tfrac {(85-80{,}38)^{2}}{80{,}38}}+{\tfrac {(79-80{,}38)^{2}}{80{,}38}}+{\tfrac {(31-32{,}15)^{2}}{32{,}15}}+{\tfrac {(5-7{,}1)^{2}}{7{,}1}}=0{,}952$

Weryfikacja i wniosek

Przy założeniu prawdziwości $H_{0}$ statystyka testowa ma asymptotyczny rozkład chi-kwadrat o liczbie stopni swobody $\nu =k-1=4-1=3$. Dla przyjętego poziomu istotności $\alpha =0,05$ wartość krytyczna $c_{\alpha }$ wyznaczona za pomocą odwrotnej dystrybuanty lub odczytana z tablic rozkładu chi-kwadrat wynosi $c_{\alpha }=7{,}815$.

Wniosek: Ponieważ obliczona wartość statystyki testowej $\chi _{emp}^{2}=0{,}952$ jest znacznie mniejsza niż wartość krytyczna $c_{\alpha }=7{,}815$, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Dane zebrane w próbie są zgodne z teoretycznym modelem rozkładu dwumianowego ${\text{Binom}}\left(m=5;p=1/6\right)$.

Przykład 3: Test zgodności z przewidywaniami genetycznymi

W wyniku krzyżowania roślin o okrągłych, żółtych nasionach z roślinami o pomarszczonych, zielonych nasionach Gregor Mendel otrzymał cztery rodzaje nasion:

(1) pomarszczone i zielone: $n_{1}=32$

(2) pomarszczone i żółte: $n_{2}=101$

(3) okrągłe i zielone:$n_{3}=108$

(4) okrągłe i żółte: $n_{4}=315$

Zgodnie z teorią oczekiwane proporcje liczebności nasion w poszczególnych klasach wynoszą 1 : 3 : 3 : 9.

Chcemy przetestować hipotezę zerową $H_{0}$, że stosunek liczby nasion wynosi 1 : 3 : 3 : 9, przy poziomie istotności $\alpha =0,05$.

Rozwiązanie.

Liczebność próby losowej wynosi $n=32+101+108+315=556$. Teoretyczne prawdopodobieństwa wynoszą $p_{1}={\tfrac {1}{16}},p_{2}={\tfrac {3}{16}},p_{3}={\tfrac {3}{16}},p_{4}={\tfrac {9}{16}}$. Obliczamy statystykę testową chi-kwadrat:

$\chi _{emp}^{2}=\sum _{i=1}^{4}{\tfrac {(n_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}}=\sum _{i=1}^{4}{\tfrac {(n_{i}-n\cdot p_{i})^{2}}{n\cdot p_{i}}}=0,47$

Za pomocą tablicy rozkładu $\chi ^{2}$ o $\nu =k-1=4-1=3$ stopniach swobody wyznaczamy wartość krytyczną $c_{\alpha }$ dla $\alpha =0,05$: $c_{\alpha }=7,815$.

Wniosek: Ponieważ $\chi _{emp}^{2}=0,47<7,815$, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o zgodności stosunku liczby nasion z przewidywaniami genetycznymi Mendla.

Test zgodności chi-kwadrat - hipoteza złożona

Jeżeli na podstawie jakichś przesłanek stawiamy hipotezę zerową, że dystrybuanta $F$ rozkładu losowego ma znaną postać, ale zależy od $l$ parametrów $\theta _{1},\dots ,\theta _{l}$, których wartości nie znamy, to mamy do czynienia z tzw. hipotezę złożoną Np. stawiamy hipotezę, że badana populacja ma rozkład Poissona, ale nie znamy parametru $\theta _{1}\equiv \lambda$ tego rozkładu (por. przykład niżej). Postępujemy wtedy podobnie, jak w przypadku wcześniej omówionym (dla hipotezy prostej): dzielimy próbkę losową na $k$ klas, przy czym $k>l+1$. Następnie dokonujemy estymacji (czyli szacowania) nieznanych wartości parametrów, posługując się metodą największej wiarygodności. Wówczas statystyka testowa

$\chi ^{2}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {(n_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {{\big (}n_{i}-n\cdot p_{i}(\theta _{1},\dots ,\theta _{l}){\big )}^{2}}{n\cdot p_{i}}}$

ma przy $n\to +\infty$ rozkład $\chi ^{2}$ o $\nu =k-1-l$ stopniach swobody.

Uwaga: Powyższą statystykę można wykorzystać do weryfikacji hipotezy zerowej, gdy liczba klas $k$ wynosi minimum 20 i estymujemy nie więcej niż $l=2$ parametry; wtedy można korzystać z kwantylów rozkładu $\chi ^{2}$ o $\nu =k-1-l$ stopniach swobody.

Przykład 4: Komórki drożdży i test zgodności z rozkładem Poissona

Liczba komórek $i$	Liczebności doświadczalne $n_{i}$	Liczebności hipotetyczne $np_{i}$	${\frac {(n_{i}-np_{i})^{2}}{np_{i}}}$
0	0	3,7	3,7000
1	20	17,4	0,3885
2	43	40,6	0,1419
3	53	63,4	1,7060
4	86	74,2	1,8765
5	70	69,4	0,0052
6	54	54,2	0,0007
7	37	36,2	0,0177
8	18	21,2	0,4830
9	10	11,0	0,0909
10	5	5,2	0,0077
11	2	2,2	0,0182
12	2	1,3	0,3769
sumy	$n=400$	$\Sigma np_{i}=400$	$\chi _{exp}^{2}=8,8132$

Komórki drożdży Saccharomyces cerevisiae w kwadracie pomiarowym w liczbie $i=7$. Takich kwadratów znaleziono 37 w omawianym badaniu.

Pod mikroskopem liczono komórki drożdży, zawarte w zawiesinie, które znalazły się w 400 kwadratach, na jakie podzielono $1mm^{2}$ na szkiełku. Wyniki pomiarów pokazuje tabela. Na poziomie istotności $\alpha =0,05$ przetestować hipotezę $H_{0}$ (hipoteza zerowa), że rozkład liczby komórek drożdży jest rozkładem Poissona.

Rozwiązanie. Rozkład Poissona ma postać

$p_{i}(\lambda )={\frac {\lambda ^{i}e^{-\lambda }}{i!}},$

gdzie $\lambda$ dla rozpatrywanego tu doświadczenia oznacza średnią liczbę komórek drożdży w kwadratach; $p_{i}$ oznacza prawdopodobieństwo, że w danym kwadracie jest $i$ komórek drożdży.

Estymatorem parametru $\lambda$, uzyskanym metodą największej wiarygodności dla pogrupowanych danych, jest średnia ważona z próby ${\bar {X}}$. Przyjmujemy więc oszacowanie: $\lambda \approx {\bar {x}}$, gdzie

${\bar {x}}={\tfrac {1}{400}}(0\cdot 0+1\cdot 20+2\cdot 43+\dots +12\cdot 2)=4,68$

Wartości teoretyczne $p_{i}$ obliczamy (Excel, Python, itp.) lub korzystamy z tablic. Mnożąc przez liczebność próby $n=400$ otrzymujemy liczebności hipotetyczne (por. 3-cia kolumna tabeli). W czwartej kolumnie są składniki statystyki testowej chi-kwadrat; stąd otrzymujemy:

$\chi _{emp}^{2}=\sum _{i=0}^{12}{\tfrac {(n_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}}=\sum _{i=0}^{12}{\tfrac {(n_{i}-n\cdot p_{i})^{2}}{n\cdot p_{i}}}=8,8132$

Ponieważ estymowaliśmy 1 parametr wielomianowej funkcji wiarygodności (dla zgrupowanych danych), więc liczba stopni swobody wynosi $\nu =k-1-l=13-1-1=11$. Za pomocą tablicy rozkładu $\chi ^{2}$ wyznaczamy wartość krytyczną $c_{\alpha }$ dla $\alpha =0,05$: $c_{\alpha }=19,675$.

Wniosek: Ponieważ $\chi _{emp}^{2}=8,8132<19,675$, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o zgodności rozkładu z rozkładem Poissona.

Test niezależności chi-kwadrat

Test niezależności chi-kwadrat przeprowadza się, aby zbadać, czy istnieje związek pomiędzy dwoma zmiennymi nominalnymi (np. kolor oczu u ludzi a kolor włosów). Bazuje on na porównywaniu liczebności uzyskanych w badaniu z liczebnościami oczekiwanymi, tj. takimi, które występowałyby, gdyby nie było żadnego związku między zmiennymi. Jeżeli różnica pomiędzy liczebnościami obserwowanymi a oczekiwanymi jest duża (istotna statystycznie) to można uznać, że zachodzi zależność między jedną zmienną a drugą. Statystyka chi-kwadrat sumuje kwadraty różnic między obserwowanymi a oczekiwanymi liczebnościami, podzielone przez liczebności oczekiwane.

W analizie wyników badań postępujemy następująco:

(1) Stawiamy hipotezy:

Hipoteza zerowa: Nie ma zależności między badanymi zmiennymi.

Hipoteza alternatywna: Istnieje istotna statystycznie zależność między badanymi zmiennymi.

(2) Zapis wyników obserwacji w tabeli

Załóżmy, że jedna zmienna nominalna ma kategorie ponumerowane indeksem $i=1,2,...,w$, a druga zmienna ma kategorie ponumerowane indeksem $j=1,2,...,k$. Wyniki pomiarów zapisujemy w tabeli (tzw. tabela krzyżowa)

j i	$1$	$2$	...	$k$	sumy $n_{i.}$
$1$	$n_{11}$	$n_{11}$	...	$n_{1k}$	$n_{1.}$
$2$	$n_{21}$	$n_{22}$	...	$n_{2k}$	$n_{2.}$
...	...	...	...	...	...
$w$	$n_{w1}$	$n_{w2}$	...	$n_{wk}$	$n_{w.}$
sumy $n_{.j}$	$n_{.1}$	$n_{.2}$	...	$n_{.w}$	$n$

(3) Obliczanie statystyki chi-kwadrat

$\chi _{emp}^{2}=\sum _{i=1}^{w}\sum _{j=1}^{k}{\frac {(n_{ij}-E_{ij})^{2}}{E_{ij}}}$

gdzie:

• $i=1,2,\dots ,w$ – indeksy kategorii pierwszej zmiennej (wiersze tabeli),
• $j=1,2,\dots ,k$ – indeksy kategorii drugiej zmiennej (kolumny tabeli),
• $n_{ij}$ – liczebność obserwacji, gdy pierwsza zmienna przyjęła $i$-tą kategorię, a druga zmienna $j$-tą kategorię,
• $E_{ij}$ – liczebność oczekiwana, gdy pierwsza zmienna przyjęła $i$-tą kategorię, a druga zmienna $j$-tą kategorię, wyznaczona przy założeniu niezależności zmiennych:

  $E_{ij}={\frac {(suma\ wiersza_{i})(suma\ kolumny_{j})}{n}}$, tj.

  $E_{ij}={\frac {n_{i.}\cdot n_{.j}}{n}}$

gdzie:

• $n$ – liczebność całkowita próby losowej,
• $n_{i.}=\sum _{j=1}^{k}$ – suma liczebności w $i$-tym wierszu (liczba obserwacji dla $i$-tej kategorii pierwszej zmiennej),
• $n_{.j}=\sum _{i=1}^{w}$ – suma liczebności w $j$-tej kolumnie (liczba obserwacji dla $j$-tej kategorii drugiej zmiennej).

(4) Liczba stopni swobody

Statystyka ta dla dużych liczebności $n$ próby losowej ma w przybliżeniu rozkład $\chi ^{2}$ o $\nu =(w-1)\cdot (k-1)$ stopniach swobody.

(5) Obliczenie wartości krytycznej

Ustalamy poziom istotności $\alpha$ (np. 0,01) i jeżeli dysponujemy tablicą rozkładu chi-kwadrat, która zestawia wartości krytyczne, to odczytujemy z niej dla $\nu$ stopni swobody wartość krytyczną $c_{\alpha }$, tj. taką wartość, że

$P(\chi ^{2}>c_{\alpha })=\alpha$

Jeżeli zaś tablica rozkładu $\chi ^{2}$ podaje wartości dystrybuanty tego rozkładu $P(\chi ^{2}\leqslant x)$, to ustalamy $c_{\alpha }$ na podstawie warunku

$P(\chi ^{2}\leqslant c_{\alpha })=1-\alpha$

(6) Wnioskowanie

Jeżeli $\chi _{emp}^{2}>c_{\alpha }$, to odrzucamy hipotezę zerową, że brak związku między kategoriami dwóch badanych zmiennych. Jeżeli $\chi _{emp}^{2}\leqslant c_{\alpha }$, to nie ma podstaw, by odrzucić tę hipotezę.

Przykład 5: Zależność koloru oczu od koloru włosów

W tabeli zestawiono wynik badania, polegającego na losowym wyborze ludzi i zapisie ich koloru oczu i włosów. Kolor oczu podzielono na 3 kategorie: 1 – niebieskie, 2 – szare lub zielone, 3 – piwne. Kolor włosów podzielono na 4 kategorie: 1 – jasne blond, 2 – ciemne blond, 3 – czarne, 4 – rude.

j (wlosy) i (oczy)	1	2	3	4	sumy $n_{i.}$
1	1768	807	189	47	2811
2	946	1387	746	53	3132
3	115	438	288	16	857
sumy $n_{.j}$	2829	2632	1223	116	6800

Obliczone wartości oczekiwane $E_{ij}$ zebrano w tabeli:

$E_{ij}$	1	2	3	4
1	1169,46	1088,02	505,57	47,95
2	1303,00	1212,27	563,30	53,43
3	356,54	331,71	154,13	14,62

Obliczamy wartość statystyki; otrzymujemy $\chi _{emp}^{2}\approx 1075{,}2$. Liczba stopni swobody wynosi $\nu =(w-1)\cdot (k-1)=(3-1)\cdot (4-1)=6.$ Ustalamy poziom istotności $\alpha =0{,}01$ i odczytujemy z tablic wartość krytyczną $c_{\alpha }=16{,}812$.

Wniosek: Ponieważ statystyka otrzymana w badaniu $\chi _{emp}^{2}\approx 1073,5$ jest większa niż wartość krytyczna $16{,}812$, dlatego odrzucamy hipotezę o niezależności koloru oczu od koloru włosów w badanej populacji. Przeciwnie, kolor oczu jest skorelowany statystycznie z kolorem włosów.

Test jednorodności chi-kwadrat

Test jednorodności chi-kwadrat przeprowadza się w celu określenia, czy (z odchyleniami dopuszczalnymi statystycznie) udziały procentowe różnych kategorii badanej cechy nominalnej są jednakowe w dwóch lub więcej populacjach. Np. można badać procentowe udziały kolorów włosów w dwóch populacjach ludzi (żyjących w odmiennych warunkach środowiskowych lub pochodzących z różnych narodów, itd.).

W analizie wyników badań postępujemy następująco:

(1) Formułowanie hipotez

Hipoteza zerowa: Rozkłady procentowe poszczególnych kategorii badanej cechy są jednakowe we wszystkich populacjach.

Hipoteza alternatywna: Co najmniej jedna populacja ma inny rozkład procentowy poszczególnych kategorii badanej cechy.

(2) Zapis wyników obserwacji w tabeli krzyżowej. W wierszach tabeli zapisuje się wyniki pomiarów badanej cechy w poszczególnych populacjach, kolumny dzielą te wyniki na poszczególne kategorie badanej cechy (np. kolory włosów).

(3) Obliczenia

Statystykę testową, w tym wartości oczekiwane, oblicza się według wzorów (analogicznych jak w teście niezależności $\chi ^{2}$, ale tu inne znaczenie mają poszczególne symbole) tj.:

$\chi _{emp}^{2}=\sum _{i=1}^{w}\sum _{j=1}^{k}{\frac {(n_{ij}-E_{ij})^{2}}{E_{ij}}}$

$E_{ij}={\frac {n_{i\cdot }\cdot n_{\cdot j}}{n}}$

gdzie:

• $i=1,2,\dots ,w$ – indeksy poszczególnych populacji (wiersze),
• $j=1,2,\dots ,k$ – indeksy poszczególnych kategorii badanej cechy (kolumny),
• $n_{ij}$ – liczebność zaobserwowana w $i$-tej populacji $j$-tej kategorii badanej cechy,
• $E_{ij}$ – liczebność oczekiwana w $i$-tej populacji $j$-tej kategorii badanej cechy,
• $n_{i.}=\sum _{j=1}^{k}$ – suma liczebności w $i$-tym wierszu,
• $n_{.j}=\sum _{i=1}^{w}$ – suma liczebności w $j$-tej kolumnie,
• $n$ – liczebność całkowita próby.

(4) Liczba stopni swobody

Statystyka ta dla dużych liczebności $n$ próby losowej ma w przybliżeniu rozkład $\chi ^{2}$ o $\nu =(w-1)\cdot (k-1)$ stopniach swobody.

(5) Obliczenie wartości krytycznej

Ustalamy poziom istotności $\alpha$ (np. 0,01) i jeżeli dysponujemy tablicą rozkładu chi-kwadrat, która zestawia wartości krytyczne, to odczytujemy z niej dla $\nu$ stopni swobody wartość krytyczną $c_{\alpha }$, tj. taką wartość, że $P(\chi ^{2}>c_{\alpha })=\alpha$. Jeżeli zaś tablica rozkładu $\chi ^{2}$ podaje wartości dystrybuanty tego rozkładu $P(\chi ^{2}\leqslant x)$, to ustalamy $c_{\alpha }$ na podstawie warunku $P(\chi ^{2}\leqslant c_{\alpha })=1-\alpha$.

(6) Wnioskowanie

Jeżeli $\chi _{emp}^{2}>c_{\alpha }$, to odrzuca się hipotezę zerową, zakładającą jednorodność rozkładu poszczególnych kategorii badanej cechy w różnych populacjach.

Jeżeli $\chi _{emp}^{2}\leqslant c_{\alpha }$, to nie ma podstaw do odrzucenia tej hipotezy.

Uwaga: O identyczności metod obliczeniowych testów niezależności i jednorodności chi-kwadrat

Jeżeli ułożymy wyniki pomiarów w tabelą krzyżową dla testu jednorodności chi-kwadrat, to dalsze procesy obliczeniowe będą identyczne jak dla testu niezależności chi-kwadrat. Jedyna różnica polega na tym, że w teście jednorodności w wierszach tabeli mamy wyniki z różnych populacji, a w teście niezależności w wierszach tabeli mamy wyniki badania uwzględniające kategorie drugiej cechy, badanej na tej samej populacji.

Z tego względu podana dalej procedura numeryczna ma zastosowanie do obliczeń obu testów, tylko w liniach 5-9 kodu jako dane należy wpisać elementy odpowiednich tabel krzyżowych.

Przykład 6: Kolory kwiatów w dwóch populacjach tego samego gatunku

Proste dziedziczenie jednogenowe (z lewej) $P$ – pokolenie rodzicielskie o kwiatach 50% czerwonych i 50% białych. $F_{1}$– pierwsze pokolenie: wszystkie kwiaty mają kolor czerwony, gdyż allel dominujący odpowiadający za czerwony kolor kwiatów maskuje obecność allelu recesywnego odpowiadającego za białe kwiaty. (z prawej) $F_{2}$ – drugie pokolenie: cecha recesywna z pokolenia $P$ ujawnia się ponownie. Kolory kwiatów występują w proporcji 3:1. To proste prawo dziedziczenia może być zaburzone na skutek różnych czynników, np. środowiska.

Badamy dwie populacje tego samego gatunku rośliny, które rosły w różnych środowiskach. Interesuje nas cecha nominalna: kolor kwiatów (czerwone vs białe). Zmierzone liczebności $n_{ij}$ zebrano w tabeli:

populacja\kolor kwiatów	1 - czerwone	2 - białe	sumy
populacja A	113	37	150
populacja B	40	60	100
sumy	153	97	250

Sprawdzamy, czy rozkład kolorów kwiatów jest taki sam w obu populacjach (czyli czy cecha jest niezależna od populacji) na poziomie istotności $\alpha =0{,}05.$

Hipotezy:

• Hipoteza zerowa: brak różnic – proporcje kolorów kwiatów są niezależne od populacji.
• Hipoteza alternatywna: istnieje różnica w proporcji kolorów kwiatów między populacjami.

Wartości oczekiwane:

$E_{ij}={\tfrac {(suma\ wiersza_{i})(suma\ kolumny_{j})}{n}}$

tj.

$E_{11}={\tfrac {n_{1.}\cdot n_{.1}}{n}}={\tfrac {150\cdot 153}{250}}=91{,}8$

$E_{12}={\tfrac {n_{1.}\cdot n_{.2}}{n}}={\tfrac {150\cdot 97}{250}}=58{,}2$

$E_{21}={\tfrac {n_{2.}\cdot n_{.1}}{n}}={\tfrac {100\cdot 153}{250}}=61{,}2$

$E_{22}={\tfrac {n_{2.}\cdot n_{.2}}{n}}={\tfrac {100\cdot 97}{250}}=38{,}8$

Wartość statystyki $\chi _{emp}^{2}$:

$\chi _{emp}^{2}=\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}{\tfrac {(n_{ij}-E_{ij})^{2}}{E_{ij}}}$

$\chi _{emp}^{2}={\tfrac {(113-91,8)^{2}}{91,8}}+{\tfrac {(37-58,2)^{2}}{58,2}}+{\tfrac {(40-61,2)^{2}}{61,2}}+{\tfrac {(60-38,8)^{2}}{38,8}}=31{,}55$

Stopnie swobody:

$\nu =(w-1)\cdot (k-1)=(2-1)(2-1)=1$

Wartość krytyczna $c_{\alpha }\approx 3,84$ (dla poziomu istotności $\alpha =0,05$ i $\nu =1$).

Wniosek:

Dla poziomu istotności $\alpha =0,05$: $\chi _{emp}^{2}=31{,}55>3,84$ – odrzucamy hipotezę zerową; de facto rozkład kolorów kwiatów badanej rośliny wyraźnie zależy od populacji.

Interpretacja biologiczna

W populacji A rozkład fenotypów jest zbliżony do klasycznej proporcji $3:1$, co wskazuje, że badana cecha dziedziczy się zgodnie z prawami Gregora Mendla, tj. allel dominujący (odpowiedzialny za kolor czerwony kwiatów) maskuje allel recesywny odpowiedzialny za kolor biały kwiatów. Populacja ta spełnia założenia prostego dziedziczenia jednogenowego.

W populacji B stosunek fenotypów znacząco odbiega od oczekiwanego $3:1$, co sugeruje, że na dziedziczenie koloru wpływają dodatkowe czynniki. Możliwe wyjaśnienia: działanie doboru naturalnego (np. jeden fenotyp ma większe szanse przeżycia), wpływ środowiska na ujawnianie się cechy (ekspresję genów), sprzężenie genów lub inne odstępstwa od niezależnej segregacji alleli. Odchylenie wskazuje, że dziedziczenie koloru w tej populacji nie przebiega zgodnie z prostym modelem Mendla.

Testów niezależności lub jednorodności chi-kwadrat w Pythonie – przykład

Poniżej przedstawiono przykładową implementację w języku Python służącą do obliczania statystyki χ² w teście niezależności dla dwóch zmiennych nominalnych lub w teście jednorodności dla porównania rozkładów w kilku populacjach.

Dane wejściowe mają postać macierzy liczebności, w której wiersze odpowiadają kategoriom jednej zmiennej (lub populacjom), a kolumny kategoriom drugiej zmiennej. Na tej podstawie wyznaczane są wartości oczekiwane $E_{ij}$, statystyka testowa χ², liczba stopni swobody, wartość krytyczna $c_{\alpha }$ oraz wartość p.

import numpy as np
from scipy.stats import chi2

# ======= DANE =======
dane = np.array([
    [1768, 807, 189, 47],
    [946, 1387, 746, 53],
    [115, 438, 288, 16]
])

alpha = 0.01  # poziom istotności

# ======= OBLICZENIA =======
n = dane.sum()
row_sums = dane.sum(axis=1)
col_sums = dane.sum(axis=0)

E  = np.outer(row_sums, col_sums) / n      # wartości oczekiwane teoretyczne
chi2_emp = ((dane - E)**2 / E).sum()       # statystyka empiryczna chi-kwadrat
df = (dane.shape[0]- 1)*(dane.shape[1]- 1) # stopnie swobody
c_crit = chi2.ppf(1 - alpha, df)           # wartość krytyczna
p_value = 1 - chi2.cdf(chi2_emp, df)       # wartość p

# ======= WYNIKI =======
print("Wartości oczekiwane:\n", np.round(E, 2))
print("\nLiczba stopni swobody =", df)
print("\nChi^2 =", round(chi2_emp, 4))
print("Wartość krytyczna =", round(c_crit, 4))
print("Wartość p =", p_value)

if chi2_emp > c_crit:
    print("\nOdrzucamy H0, bo chi^2_emp > wartość krytyczna")
else:
    print("\nBrak podstaw do odrzucenia H0")

Sprawdzanie zależności funkcyjnej dwu mierzonych zmiennych

Mając dwie serie pomiarów $x_{i}$ i $y_{i},$ a także teoretyczną zależność $y=f(x),$ można określić, na ile ta zależność pasuje do danych doświadczalnych. Tzw. znormalizowana statystyka chi-kwadrat dana jest wzorem

$\chi _{emp}^{2}={\frac {1}{n-r-1}}\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {y_{i}-f(x_{i},\theta _{1},\dots ,\theta _{r})}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$

gdzie:

• $n$ – liczba pomiarów
• $\theta _{1},\dots ,\theta _{r}$ – parametry modelu teoretycznego szacowane na podstawie danych pomiarowych
• $\sigma _{i}$ – znane błędy pomiaru wartości $y_{i}$

przy czym:

• błędy pomiarów wartości $x_{i}$ są zaniedbywalne
• liczba pomiarów $n$ jest większa od liczby $r$ szacowanych parametrów

Wartości parametrów $\theta _{1},\dots ,\theta _{r}$ przyjmuje się jako hipotezę zerową testu. Powyższy rozkład $\chi ^{2}$ ma $\nu =n-r-1$ stopni swobody. Wyliczoną wartość $\chi ^{2}$ ocenia się, porównując ją z wartością krytyczną $c_{\alpha }$, wyznaczoną na podstawie założonego poziomu istotności $\alpha .$ Gdy $\chi _{emp}^{2}<c_{\alpha }$, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej i wtedy wartości szacowanych parametrów przyjmuje się jako zgodne z pomiarami.

Zobacz też

• rozkład chi-kwadrat
• tabela kontyngencji
• współczynnik korelacji Pearsona

Bibliografia

Oryginalne prace Pearsona

• Karl Pearson, Contributions to the mathematical theory of evolution, II: Skew variation in homogeneous material, Philosophical Transactions of the Royal Society, 1895 r., 186: 343–414; dostęp online
• Karl Pearson, Mathematical contributions to the theory of evolution, X: Supplement to a memoir on skew variation, Philosophical Transactions of the Royal Society A., 1901 r., 197 (287–299): 443–459.
• Karl Pearson, Mathematical contributions to the theory of evolution, XIX: Second supplement to a memoir on skew variation, Philosophical Transactions of the Royal Society A., 1916 r., 216 (538–548): 429–457.

Po polsku:

• Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne Modele i metody, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1993, str. 93-94 (test zgodności $\chi ^{2}$-Pearsona).
• Granino A. Korn, Theresa M. Korn, Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów, cz. 2, PWN, Warszawa 1983, str. 164 (test zgodności $\chi ^{2}$).
• Lech. T. Kubik, Andrzej Krupowicz, Wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa i jego zastosowań, Warszawa 1982, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, str. 298-306 (test niezależności chi-2)
• W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002, cz. II Statystyka matematyczna, str. 103-112 (test zgodności $\chi ^{2}$).
• Donald A. McQuarrie, Matematyka dla przyrodników i inżynierów, tom 3, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, str. 241 (badanie zgodności).
• John R. Taylor, Wstęp do analizy błędu pomiarowego.

Linki zewnętrzne

• Przystępne wyjaśnienie użycia testu chi-kwadrat
• Kalkulator chi-kwadrat wraz z przystępnym opisem (ang.)
• Chi-squared test (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].